Aloha :)
Eine Basis umfasst die minimal mögliche Anzahl von Vektoren, die du brauchst, um alle Ergebnis-Vektoren der Abbildung als Linearkombination darstellen zu können. Du kannst daher einfach die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren der Matrix rausrechnen, sodass eine Basis übrig blebt. Dazu bringst du die Spaltenvektoren durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckgestalt:
$$\begin{array}{rrr} & -S_1 & -2S_1\\\hline1 & 1 & 2\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\\0 & 3 & 0\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 0\\0 & 3 & 0\end{array}$$
Wir finden 2 Basisvektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\). Die Dimension der Basis ist daher \(2\). Da die Matrix Vektoren mit 3 Komponenten als Eingangsgrößen erwartet, ist die Dimension des Kerns gleich \(3-2=1\).
Die Abbildung ist nicht injektiv, da der Defekt (=Dimension des Kerns) der Matrix größer als \(0\) ist, sodass es unendlich viele Eingangsvektoren gibt, die auf den Nullvektor abbilden.