Welche Deminsion hat Bild (A), Welche Dimension Ker (A) und ist A injektiv?

Question

Aufgabe:Gegeben sei folgende Matrix: A = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix} \)

Geben sie eine Basis von Bild(A) an. Welche Deminsion hat Ker(A)? Ist A injektiv?

Problem/Ansatz:Ich bin komplett überfordert. Was muss ich den hier machen? Basen von Bild 1 waren doch Vektoren der Matrix die linear unabhängig waren oder? Und wie guckt man nach der Dimension und der injektivität?

Vielen Dank im voraus :)

Answer 1

Aloha :)

Eine Basis umfasst die minimal mögliche Anzahl von Vektoren, die du brauchst, um alle Ergebnis-Vektoren der Abbildung als Linearkombination darstellen zu können. Du kannst daher einfach die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren der Matrix rausrechnen, sodass eine Basis übrig blebt. Dazu bringst du die Spaltenvektoren durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckgestalt:

$$\begin{array}{rrr} & -S_1 & -2S_1\\\hline1 & 1 & 2\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\\0 & 3 & 0\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 0\\0 & 3 & 0\end{array}$$

Wir finden 2 Basisvektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\). Die Dimension der Basis ist daher \(2\). Da die Matrix Vektoren mit 3 Komponenten als Eingangsgrößen erwartet, ist die Dimension des Kerns gleich \(3-2=1\).

Die Abbildung ist nicht injektiv, da der Defekt (=Dimension des Kerns) der Matrix größer als \(0\) ist, sodass es unendlich viele Eingangsvektoren gibt, die auf den Nullvektor abbilden.

Answer 2

Hallo

1. Schritt:  von wo nach wo bildet A ab etwa von V nach U dann liegt Kern A in V dazu Ax=0 bestimmen. Bild A liegt in U dazu die Bilder der Standardbasis bestimmen , das sind was du die "Vektoren der Matrix"  ich lieber die Spaltenvektoren der Matrix nennst,  wenn die linear unabhängig sind bilden sie eine Basis des Bildes. Dimension: Anzahl der Basisvektoren, und dim(A)=dim(Kern)+dim(Bild).

injektiv: wenn der Kern ≠0 ist kann dann A injektiv sein?

Gruß lul