Ganzrationale Funktion dritten Grades geht durch den Ursprung. Wie heißt die Funktionsgleichung?

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades geht durch den Ursprung, hat bei x= 1 ein Maximum und bei x= 2 eine Wendestelle. Sie schließt über der x-Achse mit dem Intervall (0,2) eine Fläche vom Inhalt 6 ein. Wie heißt die Funktionsgleichung?

Problem/Ansatz:

Wäre super lieb wenn mir jemand helfen könnte. Ich war die letzte Stunde krank und weiß nun leider nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll. :)

Comments

Ihr habt aber vorher im Unterricht schon Streckbriefaufgaben besprochen, oder?

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Nein, wir hatten eigentlich nur die allgemeine Integralrechnung.

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Eine ganzrationale Funktion dritten Grades geht durch den Ursprung, hat bei x= 1 ein Maximum und bei x= 2 eine Wendestelle.

Könntest du denn aus diesen Informationen die Gleichungen aufstellen?

Answer 1

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades:

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f''(x)=6ax+2b$$

geht durch den Ursprung,

f(0) = 0 ⇒ d = 0

Wir haben also noch

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx\\f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f''(x)=6ax+2b$$

hat bei x= 1 ein Maximum

f'(1) = 0 ⇒ \(3a+2b+c=0\)

und bei x= 2 eine Wendestelle

f''(2) = 0 ⇒ \(12a+2b=0\)

Sie schließt über der x-Achse mit dem Intervall (0,2) eine Fläche vom Inhalt 6 ein.

$$F(x)=\frac{1}{4}ax^4+\frac{1}{3}bx^3+\frac{1}{2}cx^2 \Longrightarrow \\\frac{1}{4}a2^4+\frac{1}{3}b2^3+\frac{1}{2}c2^2 =6$$

Du hast nun drei Gleichungen für 3 Unbekannte.

Falls du zur Lösung des Gleichungssystems Hilfe brauchst, melde dich einfach wieder.

Gruß, Silvia

Comments

Hallo Silvia,

fehlen in deiner letzten Zeile nicht b und c?

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Oh ja, das tun sie. Ich korrigiere das. Danke dir!

Answer 2

f(x)= a x³ +bx² + CX +d

f0)= d = 0

f'(x)= 3ax² +2bx+c

f''(x)= 6ax +2b

f"(2)= 12a+2b= 0

                      b= -6a

f'(1) = 3a +2b +c = 0

          3a -12a+c = 0

                          c = 9a

f(x)= a x³ -6ax² + 9ax

F(x) = a/4 * x^4 - 2ax³ + 9/2 ax² +c

F(2) - F( 0) = a/4 * 2^4 - 2a2³ + 9/2 a2² =6

                    4a - 16a + 18a= 6

                                         6a =6

                                            a=1

f(x)= x³ -6x² +9x

Answer 3

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades

        f(a) = ax³ + bx² + cx + d

Stelle für jede in der Aufgabenstellung gegebene Information eine Gleichung auf und löse das Gleichungssystem.

Answer 4

Aloha :)

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die Form:$$y(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$Die Gesuchte geht durch den Ursprung, enthält also den Punkt \((0;0)\):$$0=y(0)=a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d\quad\Rightarrow\quad d=0$$Die Gesuchte hat ein Extremum bei \(x=1\):$$0=f'(1)=\left[3ax^2+2bx+cx\right]_{x=1}=3a+2b+c$$Die Gesuchte hat eine Wendestelle bei \(x=2\):$$0=y''(2)=\left[6ax+2b\right]_{x=2}=12a+2b\quad\Rightarrow\quad b=-6a$$Damit können wir auch \(c\) durch \(a\) ausdrücken:$$c=-3a-2b=-3a-2(-6a)=-3a+12a=9a$$Die Gesuchte hat also die Form:$$y(x)=ax^3-6ax^2+9ax$$Im Intervall \([0;2]\) schließt die Gesuchte mit der x-Achse dir Fläche 6 ein:$$6=\left|\int\limits_0^2a(x^3-6x^2+9x)dx\right|=|a|\left|\left[\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{9}{2}x^2\right]_0^2\right|=6|a|$$Wegen \(|a|=1\) folgt \(a=\pm1\). Da wir aber wissen, dass bei \(x=1\) ein Maximum vorliegt, muss \(f''(1)<0\) gelten:$$f''(1)=6a\cdot1+2b=6a\cdot1-12a=-6a\stackrel{!}{<}0\quad\Rightarrow\quad a=+1$$Das liefert die Gesuchte:$$\boxed{y(x)=x^3-6x^2+9x}$$

~plot~ x^3-6x^2+9x ; {1|4} ; {2|2} ; [[-1|4|-1|5]] ~plot~

Answer 5

Benutze bei ähnlichen Aufgaben http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Selbstkontrolle und zur Unterstützung