Question

Welches rechtwinklige Dreieck lässt sich durch seine Höhe (h=108)  auf der Hypotenuse in zwei pythagoreische Dreiecke unterteilen?

Answer 1

Hallo Roland,

das könnte dieses Dreieck sein:

Gruß, Silvia

Comments

Das könnte natürlich nicht nur sein, sondern das ist die Lösung.

Wie hast du das herausgefunden?

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Das Kleinste pythagoräische Dreieck hat die Seitenlängen 3, 4 und 5.

Die Höhe ist in beiden Teil-Dreiecken eine Kathete. Also kann man das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 4 benutzen und erhält 12 als die Höhe.

Am Ende skaliert man das noch mit 9 und erhält die Höhe 108.

Man kann also das Dreieck aus zwei ganz normalen skalierten Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 erhalten.

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Wenn das eine Antwot gewesen wäre, hätte ich sie als "Beste" ausgezeichnet.

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Zuerst habe ich mit dem kleinsten pythagoreischen Dreieck 3-4-5 experimentiert, um mir klar zu machen, wie ich daraus ein neues Dreieck machen kann. Einmal habe ich es mit dem Faktor drei und dann mit vier vergrößert. Die neue Höhe 12 ist das Produkt aus den beiden Katheten.

Nächster Gedankengang: 108 = 2² · 3³

Das hat mir nicht viel gebracht. Dann 108 = 2,4 · 45 bzw. 12 · 9

Beide Zahlen mit 3 multipliziert ergaben dann die Vergrößerungsfaktoren 36 und 27.

Einfacher, wie ich nachher gesehen habe, wäre es gewesen, wenn ich 108 durch 3 und 4 geteilt hätte.

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Du darfst die beste Antwort gerne an Silvia vergeben. Sie hat es sicher auch so gelöst.

Ich benutze gerne das Dreieck

um mit den Schülern die Satzgruppe des Phythagoras zu ergründen. Das bequeme ist, das alle Seiten ganzzahlig sind und die Schüler so auch sehr leicht alles im Kopf berechnen können.

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3 ; 4 ; 5 eignet sich

hc = k*12

5; 12; 13 geht grad noch so,

hc =  k* 60

7; 24; 25 überfordert die SuS aber

hc = k*168

wenn dann da auch noch

hc= 1,68 m

steht, ist es vorbei

Bei

hc = 6,60 m

Gibt es z.B. zwei Lösungen, die eine finden sie evtl, doch die andere bleibt wohl im Verborgenen, doch ihr seht sie bestimmt ganz schnell.

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Es ging um pythagoreische Dreiecke, also Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen. Warum kommst du dann mit Dezimalzahlen um die Ecke die ein Komma haben?

Man bräuchte ein pythagoräisches Tripel bei denen ein gemeinsames Vielfaches der Katheten 108 ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel

Ich sehe in der Liste nur das Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5.

D.h. das von Silvia gefundene Dreieck ist das einzige. Das hat Roland aber ja auch ganz zu Anfang schon bestätigt gehabt.

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Nehmen wir an, h=108cm

so ist h=1080 mm = 9*8*15

und auf einmal gibt es auch eine zweite Lösung.

a=2295 mm= 9*15*17

b=1224 mm= 9*8*17

p=576 mm = 9*8*8

q= 2025 mm =9*15*15

c = 2601 mm = 9*17*17

Hier wurde also mit den Zahlen
15 ; 8 ; 17

gespielt, die sich wiederum aus

15= 3*5 ; 8 = 12 - 4 ; 17 = 13 +4

zusammen setzen,

da

3 ; (3*3-1)/2= 4 ; (3*3 +1)/2 =5

5 ; (5*5-1)/2 =12 ; (5*5 +1)/2=13

vermutlich gibt es auf diesem Weg noch weitere Lösungen.

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@ Mathecoach

Längen haben immer eine Einheit, also kann ich auch eine kleinere Einheit finden, die wieder ganzzahlige Lösungen haben.

6,60 m = 660 cm

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Nehmen wir an, h=108cm

Die Hohe ist 108 und nicht 108 cm, du darfst also die 108 nicht selber mit irgendwas multiplizieren.

Sonst könnte man ja auch sagen

108 Dutzend = 1296 Stück.

Dann könntest du die 108 selber wieder mit eine völlig ausgedachten Zahl multiplizieren.

Und dann könnte ich sagen 7 ist keine Primzahl weil

7 cm = 70 mm und 70 mm lässt sich durch die Primfaktoren 2, 5 und 7 Teilen.

Das erinnert mich an Pippi Langstrumpf

2 x 3 macht 4
Widdewiddewitt
und Drei macht Neune !!
Ich mach' mir die Welt
Widdewidde wie sie mir gefällt ....

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Gut, die 6,60 m nehme ich zurück und spreche von 660 cm.

Du hast doch auch aus der 108 eine 12 gemacht.

Mein Einwand ging nicht um die Lösung der konkreten Aufgabe, sondern sollte nur eine Bemerkung sein, dass es bei anderen Zahlen auch verschiedene Möglichkeiten geben kann.

Wenn ich schreibe , nehmen wir an, dann zählt natürlich alles Folgende nicht, wenn du dieser Annahme nicht folgst.

Wenn, dann, wenn nicht, dann eben nicht. Es ging mir nicht darum, die Welt so zu sehen dass die mathematischen Regeln nicht mehr gelten, sondern ich wollte und hatte gehofft, damit auch andere zu erreichen, einen anderen Teil der Welt betrachten. h = 108 ist ein Beispiel von vielen, doch allgemein muss doch h=k*a*b sein, wobei a; b die beiden kleinen Zahlen der pytagoräischen Zahlentrippel sind.

Fazit, es gibt Zahlen, da finden wir mehr als eine Lösung, wobei die symmetrische Lösung natürlich immer existiert, wenn es eine Lösung gibt.

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Das besondere an dieser Aufgabe war ja das die Seitenlängen Ganzzahlig sein sollten. Dummerweise sind dann die Winkel sehr blöd. Wenn man rechtwinklige Dreiecke nimmt mit Winkeln von 30 und 60 Grad sind sind nicht mal alle Seiten rational. Lässt man allerdings rationale Zahlen zu dann kann man die Dreiecke aus jedem beliebigen pythagoräischen Zahlentripel zusammenbasteln. Und dann gibt es unendlich viele Möglichkeiten.

https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel

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@ Mathecoach

Es ging mir nicht darum an dieser Lösung für diesen Fall h=108 zu zweifeln, wobei es natürlich immer auch die symmetrische Löung gibt, bei der wir a und b sowie p und q vertauschen. Die Aufgabe hatte also zwei Lösungen, doch darum ging es mir nicht.

Bleiben wir bei Ganzzahligen Zahlen, dann gibt es für jedes n ∈N eine Zahl, a = 2k mit k∈ N₀,

Dieses a gibt uns an, wieviel Lösungen es gibt. Ich wollte nur zeigen, dass es  Fälle gibt, bei denen

k>1, das mag für dich selbstverständlich sein, doch ich glaube für viele ist es das nicht.

Answer 2

Ist \(\begin{pmatrix}a & b & c\end{pmatrix}\) ein pythagoreisches Tripel mit \(a\lt b \lt c\), dann liefert die Konstruktion $$\begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0  \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b & c \\ a & b & c \\ a & b & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aa & ab & ac \\ ab & bb & bc \\ ac & bc & cc \end{pmatrix} $$ in seinen einzelnen Zeilen die Seitenlängen der drei beteiligten und zueinander ähnlichen(!) Dreiecke. Für die Höhe \(h_{cc}\) über der Hypotenuse \(cc\) im großen Dreieck gilt dann \(h_{cc}=ab\). Für das Dreieck in der Frage muss noch ein Streckfaktor \(k\in \mathbb{N}\) berücksichtigt werden. Es sind also diejenigen Faktorisierungen der Form \(108=k\cdot a\cdot b\) gesucht, für die \(a^2+b^2\) eine Quadratzahl ist.

Man muss nicht lange suchen, da man bereits mit \(108=9\cdot 3\cdot 4\) fündig wird.

Mit der oben beschriebenen Konstruktion lässt sich nun untersuchen, ob die gefundene Lösung die einzige ist oder nicht. Außerdem lassen sich damit leicht neue Aufgaben dieser Art konstruieren.

Eine weiterführende Fragestellung wäre: Gibt es Höhen \(h\) mit mehreren, wesentlich voneinander verschiedenen Lösungen?

Comments

Danke, ein Beispiel für mehrere Lösungen hatte ich für h=1080 ja gezeigt, was deine Frage beantwortet.