Wie groß ist der Materialverbrauch (in mm³)?

Question

Aufgabe:

Aus 16 mm dickem Plexiglas wird eine Bikonvexlinse ausgeschnitten. Ihre beiden Brechnungsflächen sollen parabelförmiges Profil sowie die in der Zeichnung angegebenen Maße (in mm) besitzen. Wie groß ist der Materialverbrauch (in mm³)?

Ein Bild von der Skizze gibt es hier: https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=9225178065841494002

- Ich hab zunächst zwei quadratische Funktionen durch die Scheitelpunktformen gebildet:

1) f(x) = -1/100 x² + 16        (Scheitelpunkt (0|16; Nullstelle (40|0)

2) f(x) = 1/200 x² - 8            (Scheitelpunkt (0|-8; Nullstelle (40|0)

Danach habe ich anschließend die Integralrechnung verwendet

Stammfunktion F: x^3 /200 -24x mit der unteren Intervallgrenze -40 und oberen IG 0 und anschließend für 0 bis 40.

Ich habe dann A1 + A2 zusammengerechnet und 1280 FE erhalten.

Wo liegt mein Fehler? .. -_-

Answer 1

Deine Nullstellen liegen jeweils bei -40 und 40. Damit ist die Breite 80. Die Breite soll allerdings nur 40 sein.

Comments

Wenn ich diesen Fehler korrigiere, sollte ich dann auf ein richtiges Ergebnis kommen? Und wie geht das nach dem Errechnen der FE weiter also Umrechnung in mm³?

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Du solltest dann auf das richtige Ergebnis kommen

Vergiss allerdings nicht das du dann bisher nur eine Fläche hast die du noch mit der Körperhöhe 16 multiplizieren musst. Du willst schließlich ein Volumen mm³ bekommen.

A1 = 2/3 * 40 * 16 = 426.6666666

A2 = 2/3 * 40 * 8 = 213.3333333

A = A1 + A2 = 640 mm²

V = A * 16 = 10240 mm³

Answer 2

Die Funktionen sind richtig. Ich gebe ihnen hier mal verschiedene Namen, damit man sie unterscheiden kann. Also \(f_1(x)=-0.01x^2+16\) und \(f_2(x)=0.005x^2-8\). Die Grundfläche dieser Bikonvexlinse ist gegeben durch:$$A=\int_{-40}^{40}f_1(x)-f_2(x)\, dx=1280 \, \text{FE}$$ Die Bikonvexlinse hat allerdings noch eine dritte Dimension. Du erkennst in der Grafik, dass die Höhe (bzw. Breite) hier 16 beträgt. Insgesamt hast du also für das Volumen und damit für den Materialverbrauch \(V=16\cdot A=20480\, \text{VE}\).

Comments

Ich hatte bereits die Funktionen des Fragestellers infrage gestellt. Hattest du dir die Zeichnung angesehen?

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Ich habe die Zeichnung wie Er gedeutet. Warum sollte die Breite nur 40 sein?

https://www.desmos.com/calculator/lzlep1sazb

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EDIT: Doch, ich verstehe, wie man auf die Idee kommt, dass die Breite insgesamt 40 sein soll und denke mittlerweile auch, dass das so sein soll. Jeweils 40 würde man vermutlich mit den Pfeilspitzen separat markieren, würde auch besser zur Skizze passen.

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@racine_carrée, stimmst du also dem User Mathecoach zu, dass meine Scheitelpunkte für beide Funktionen falsch sind? LG

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Nein, nicht die Scheitelpunkte. Du hast, wie ich gedacht, dass die Nullstellen bei -40 und 40 sind. Es soll aber wohl bedeuten, dass die Nullstellen bei -20 und 20 sind, weil die gesamte Strecke zwischen den Nullstellen 40 ist.

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Genau. Ich hätte die Funktionen so modelliert

~plot~ 16-16/20^2*x^2;8/20^2*x^2-8;[[-20|20|-10|20]] ~plot~

Und bereits dort sieht man natürlich das die Buchskizze nicht wirklich maßstabsgetreu ist.

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Eine Frage wegen den Einheiten, ich komme hier etwas durcheinander:

A1 = 320 und A2 = 320. Das ist aber alles in mm, richtig? Und das bedeutet das ich jetzt (A1+A2)*16 machen muss, um auf mm³ zu kommen?

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Genau, dem ist so.

Vermutlich warst du heute morgen noch nicht ganz wach.

A1 = 320 und A2 = 320. Das ist aber alles in mm, richtig?

Zunächst mal sind die Zahlen falsch

A1 = 2/3 * 40 * 16 = 426.6666666 mm²
A2 = 2/3 * 40 * 8 = 213.3333333 mm²

Und dann sind A1 und A2 Flächen die man mit dem Integral berechnet und die werden daher in mm² gemessen.

Ich Addiere A1 und A2 zu einer Gesamtfläche von 640 mm²

Und wenn ich das mit der Höhe von 16 mm multipliziere komme ich auf ein Volumen von

V = A * 16 = 10240 mm³

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Auch wenn A1 und A2 falsch sein sollte, ich bin am Ende auf 640 mm² bzw. dann 10240 gekommen. Wie ist das zu erklären?

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Bei dir sind A1 und A2 ja gleich groß. Damit musstest du dort die Gleiche Funktion integriert haben. Vielleicht hatten die Parabeln bei dir nicht die Höhe 16 und 8 sondern beide die Höhe 12.

Das würde aufs gleiche Ergebnis führen. Man könnte auch eine Parabel mit der Höhe 24 nehmen.

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Ja, ich habe die gleiche Differenzfunktion für A2 wieder integriert. Nur verstehe ich nicht: liege ich falsch mit meiner Integralrechnung? LG

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Ohne deine Rechnung zu sehen, kann man nicht soviel sagen. Wenn du es über zwei einzelne Flächen machst solltest du die schon korrekt heraus bekommen. Auch wenn deine Gesamtfläche stimmt sind die Einzelflächen falsch. Das liegt aber auch daran wie du die Flächen benennst. Trennst du die gesamtfläche an der y-Achse ist natürlich die rechte gleich der linken Fläche. Teilst du an der x-Achse, dann sind die Flächen nicht gleich groß.

Answer 3

Eine Linse war für mich immer ein Rotationskörper. Hier wird auf einmal daraus ein Prisma. Das verstehe ich nicht.

Comments

Das ist auch nicht wirklich zu verstehen.

Man sollte wissen das auch die Ersteller eines Mathelehrbuches aus dem Cornelsen Verlag nicht immer richtig liegen in der Ausdrucksweise.

Aber ich denke es ist klar was zu berechnen ist. Und daher sollte das für die Schüler auch eventuell nur sprachlich ein Problem sein aber nicht mathematisch.