Betragsfunktion differenzierbar mit (sqrt(x^2))'?

Question

Aufgabe:
Wir betrachten auf den Reellen Zahlen die Funktion
$$ f(x) = x\cdot|x| $$
Auf welchen Punkten ist f(x) differenzierbar ? Bestimmen die dort die Ableitung

Ansatz:Meine Idee ist es, dass f(x) im Punkt x=0 nicht differenzierbar ist, aber sonst überall differenzierbar ist. Für f'(x) würde mit x ungleich 0 dann gelten:
$$f'(x)=(x)'\cdot|x| + x\cdot (|x|)' = |x| +x\cdot (\sqrt{x^2})'$$Dann würde sich die Ableitung des Betrags wie folgt berechnen:$$(\sqrt{x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot2x = \frac{x}{\sqrt{x^2}}$$Insgesamt gilt dann:$$f'(x) = \sqrt{x^2}+x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2}} = \frac{(\sqrt{x^2})^2}{\sqrt{x^2}}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2}}= \frac{2x^2}{\sqrt{x^2}}= \frac{2x^2}{|x|}$$Mit WolframAlpha kommt dasselbe raus meine frage wäre nur ob ich denn so ohne weiteres sagen kann, dass gilt:$$|x| = \sqrt{x^2}$$
Vielen Dank im voraus

Comments

f(x) = x^2 für x>=0

f(x) = -x^2 für x <=0

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Eine fast identische Frage existiert bereits hier: https://www.mathelounge.de/741744/alle-punkte-bestimmen-denen-die-funktion-differenzierbar.

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion \(f(x)=x|x|\) kannst du mit Bedinungen an \(x\) wie folgt schreiben:$$f(x)=\left\{\begin{array}{r}x^2&;&x \ge0\\-x^2&;& x<0\end{array}\right.$$Beide Fälle kannst du sofort unabhängig voneinander ableiten. Im Fall \(x\ge0\) musst du dabei bedenken, dass der linksseitige Grenzwert bei \(x=0\) nicht existiert. Daher gilt die Ableitung nur für \(x>0\).$$f'(x)=\left\{\begin{array}{r}2x&;&x>0\\? & ; & x=0\\-2x&;& x<0\end{array}\right.$$Wir prüfen, ob für \(x=0\) die Ableitung eindeutig ist:$$\lim\limits_{x\searrow0}(2x)=2\cdot0=0\quad;\quad\lim\limits_{x\nearrow0}(-2x)=-2\cdot0=0$$Offensichtlich sind beide Grenzwerte gleich, d.h. die Funktion \(f(x)=x|x|\) ist auch für \(x=0\) differenzierbar und wir haben gefunden:$$f'(x)=\left\{\begin{array}{r}2x&;&x\ge0\\-2x&;& x<0\end{array}\right.$$Das kann man zusammenfassen als:$$f'(x)=2|x|$$

Comments

Ah verstehe ich danke dir :)

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d.h.

Bei einer in unzulässiger Weise dermaßen verkürzten Argumentation ist das d falsch.