Integral berechnen, grenzen festlegen

Question

Aufgabe:

Es soll dieses Integral berechnet werden
$$M=\left\{ \left( x,y,z \right) \in \left[ 0,1 \right]^3 |x+y\leq 1 \text{ und } y+z\leq 1\right\}\text{ und } f: M\to\mathbb R,\left( x,y,z \right)\mapsto 6xz$$

$$\text{ Und soll berechnet werden   } \int_{ M}{  }{ f\left( x,y,z \right) } d\left( x,y,z \right)$$

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen, wie man die Grenzwerte festlegt und gegebenenfalls berechnet.

Answer 1

Aloha :)

Es ist \(0\le x,y,z\le1\). Daher können wir \(0\le x\le1\) frei wählen. Wegen \(x+y\le1\) ist \(y\) dann nach oben limitiert, sodass \(0\le y\le1-x\). Ebenso ist durch \(y+z\le1\) dann \(z\) nach oben beschränkt, also \(0\le z\le1-y\). Durch diese Abhängigkeiten ist die Integrationsreihenfolge festgelegt:$$I=\int\limits_Mf(x,y,z)d(x,y,z)=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^{1-x}dy\int\limits_0^{1-y}dz\,6xz=\int\limits_0^1dx\,6x\int\limits_0^{1-x}dy\int\limits_0^{1-y}dz\,z$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1dx\,6x\int\limits_0^{1-x}dy\left[\frac{z^2}{2}\right]_{0}^{1-y}=\int\limits_0^1dx\,6x\int\limits_0^{1-x}dy\,\frac{(1-y)^2}{2}$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1dx\,3x\int\limits_0^{1-x}dy(1-2y+y^2)=\int\limits_0^1dx\,3x\left[y-y^2+\frac{y^3}{3}\right]_0^{1-x}$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1dx\,3x\left((1-x)-(1-x)^2+\frac{(1-x)^3}{3}\right)$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1dx\,x\left((3-3x)-(3-6x+3x^2)+(1-3x+3x^2-x^3)\right)$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1dx\,x\left(1-x^3\right)=\int\limits_0^1dx\,\left(x-x^4\right)=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{3}{10}$$