Aloha :)
Über das Krümmungsverhalten gibt das Vorzeichen der zweiten Ableitung Auskunft. Daher brauchen wir zunächst die zweiten Ableitungen:$$F_1'(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2+1\quad;\quad F_2'(x)=-48x^3-x^2-2x$$$$F_1''(x)=x^2+2x\quad;\quad F_2''(x)=-144x^2-2x-2$$Um nun die Vorzeichen bestimmen zu können, formen wir die 2-ten Ableitungen etwas um:
$$F_1''(x)=x(x+2)$$$$F_2''(x)=-144\left(x^2+\frac{2}{144}x\right)-2$$$$\phantom{F_2''(x)}=-144\left(x^2+\frac{2}{144}x+\left(\frac{1}{144}\right)^2-\left(\frac{1}{144}\right)^2\right)-2$$$$\phantom{F_2''(x)}=-144\left(x^2+\frac{2}{144}x+\left(\frac{1}{144}\right)^2\right)+144\cdot\left(\frac{1}{144}\right)^2-2$$$$\phantom{F_2''(x)}=-144\left(x+\frac{1}{144}\right)^2+\frac{1}{144}-2$$$$\phantom{F_2''(x)}=-144\left(x+\frac{1}{144}\right)^2-\frac{287}{144}$$Jetzt können wir die Vorzeichen ablesen.
\(F_1''(x)\) ist genau dann positiv, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben:$$x>0\quad\land\quad x+2>0\quad\Rightarrow\quad x>0\quad\land\quad x>-2\quad\Rightarrow\quad x>0$$$$x<0\quad\land\quad x+2<0\quad\Rightarrow\quad x<0\quad\land\quad x<-2\quad\Rightarrow\quad x<-2$$Damit ist klar:$$F_1(x)\text{ ist }\left\{\begin{array}{l}\text{links gekrümmt} & \text{für} & x<-2\;\lor x>0\\\text{nicht gekrümmt} & \text{für} & x=-2\;\lor x=0\\\text{rechts gekrümmt} & \text{für} & -2<x<0\end{array}\right.$$In der folgenden Abbildung sind die Wendepunkte eingezeichnet:
~plot~ x^4/12+x^3/3+x ; {0|0} ; {-2|-3,33} ; [[-5|3|-6|5]] ~plot~
\(F_2''(x)\) ist für alle \(x\in\mathbb R\) negativ, daher ist \(F_2(x)\) immer rechtsgekrümmt.
~plot~ -12x^4-x^3/3-x^2 ; [[-1|1|-5|0]] ~plot~
