Obere Schranke 5 beweisen

Question

Aufgabe:

Beweis, dass an < 5

Problem/Ansatz:

an= (1+5n^2)/(n×(n+1))

Jetzt soll man beweisen, dass an immer kleiner als 5 ist.

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Comments

Das lässt sich nicht beweisen, da es nämlich offensichtlich falsch ist. Du kannst aber gerne die vermutlich fehlenden Klammern im Term von an ergänzen, dann lässt es sich vielleicht doch beweisen...

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Könntest du mir sagen, welche Klammern du meinst? Denn an= (1+5n^2) (Das steht im Zähler) /n×(n+1) (das steht im Nenner).

Ohne die Klammer im Nenner kann man den Nenner natürlich auch als n^2+n darstellen.

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In der Zeilendarstellung eines Terms (plain text) muss der gesamte Nenner geklammert werden.

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Habe es verbessert :)

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Sehr schön, jetzt wird aus

a_{n} = (1+5n^{2})/(n×(n+1))

durch Umformen leicht

a_{n} = (5n^{2}+1)/(n^{2}+n)

und man könnte eine Polynomdivision mit Rest durchführen.

Answer 1

Für alle \(n\ge1\) gilt$$5-a_n=5-\frac{5n^2+1}{n^2+n}=\frac{5n-1}{n^2+n}\ge\frac4{n^2+n}>0.$$Daraus folgt die Behauptung.