Fröschlein Matrizaufgabe

Question

Aufgabe:

Ein Fröschleinweibchen legt durchschnittlich 2500 Eier und stirbt danach. Hieraus entwickeln sich zu 2% Kaulquappen der 1. Art. Diese entwickeln sich zu 20% weiter zu Kaulquappen der 2. Art, indem ihnen Extremitäten wachsen und sie sich auf das Leben außerhalb des Wassers vorbereiten. Aus Ihnen entwickeln sich zu 10% wieder Froschweibchen.

a) Stellen Sie das Entwicklungsverhalten der Weibchenpopulation durch eine Matrix dar.

b) Berechnen Sie die Entwicklung über zwei Zeitperioden, wenn zu Beobachtungsbeginn 20 Froschweibchen, 5000 Eier, 1000 Kaulquappen der 2. Art vorhanden sind.

c) Zeigen Sie, dass ein zyklischer Prozess der Länge 4 vorliegt.

d) Wie verändert sich der Prozess, wenn nur 2000 Eier gelegt werden?

e) Wir verallgemeinern nun: Ein Froschweibchen legt a Eier. Die Variablen b, c und d sind die übergangswahrscheinlichkeiten Ei → Kaulquappen 1. Art → Kaulquappen 2. Art→ Weibchen.

Welche vier Bindungen müssen die vier Variabeln erfüllen, damit ein zyklischer Prozess der 4 entsteht?

Problem/Ansatz:

a) \begin{pmatrix} 0&0&0&2500 \\ 0,02&0&0&0 \\0&0,20&0&0\\0&0&0&0,1 \end{pmatrix}

b) hab ich auch

Jedoch versteh ich nicht wirklich, was bei Aufgabe c, d und e gefragt ist... Ich bitte sehr um Hilfe, da ich verzweifele!!

Lg und Vielen Dank

Answer 1

zu c) Zeige, dass -unabhängig vom Anfangsbestand- in 4 Jahren der selbe Bestand vorliegt wie jetzt.

Den Bestand in 4 Jahren berechnet man, indem man den aktuellen Bestand viermal mit der Übergangsmatrix multiplizert. Du muss letztendlich nur zeigen, dass

"Übergangsmatrix hoch 4"

eine Einheitsmatrix ist.

Ich verstehe nicht, was dir bei d) nicht klar ist. Ersetze in deiner Matrix den Wert 2500 durch den Wert 2000.

Rechne dann die zweite, dritte, vierte ... Potenz dieser neuen Übergangsmatrix aus.

(Ja, das klingt nach Arbeit. Das Leben kann grausam sein.)

Dabei sollte dir etwas auffallen.

Comments

Vielen Dank..stimmt ich weiß auch nicht, warum ich es mir so schwer gemacht habe. Bei Aufgabenteil d) ist mir aufgefallen, dass sich M^2 und M^3 gleichen. Heißt dass das es ein Zyklus der Länge 2 ist?

Außerdem versteh ich aufgabenteil e) nicht..Könnten Sie mir da vielleicht auch einen Denkanstoß geben?

Vielen Dank.

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Wenn du deine Matrix gefunden hast, dann setze doch einfach für deine Werte a,b, c, d ein, dann sollte nach 4 Durchläufen doch die Beziehung klar sein.

Dann stellst du fest, dass a*b*c*d=1

sein muss.

Answer 2

Ich habe keine Ahnung vom Thema, doch der Ansatz ist falsch.

Problem/Ansatz:

a) \( \begin{pmatrix} 0&0&0&2500 \\ 0,02&0&0&0 \\0&0,20&0&0\\0&0&0&0,1 \end{pmatrix} \)

Richtig ist

a)\( \begin{pmatrix} 0&0&0&2500 \\ 0,02&0&0&0 \\0&0,20&0&0\\0&0&0,1&0 \end{pmatrix} \)