Aloha :)
Man sieht das Integral und wundert sich sofort über die Integrationsvariable \(\alpha\). Weil \(\alpha\) gerne als Variable bei Parameterintegralen verwendet wird, habe ich folgenden Lösungsweg probiert.
Man kann den Integranden selbst als Integral schreiben, denn:$$F(\alpha)=\int\limits_a^b\alpha^xdx=\int\limits_a^be^{x\ln\alpha}dx=\left[\frac{e^{x\ln\alpha}}{\ln\alpha}\right]_a^b=\left[\frac{\alpha^x}{\ln\alpha}\right]_a^b=\frac{\alpha^b-\alpha^a}{\ln\alpha}$$Daher ist:$$I=\int\limits_0^1\frac{\alpha^b-\alpha^a}{\ln\alpha}d\alpha=\int\limits_0^1\left(\int\limits_a^b\alpha^xdx\right)d\alpha$$Da die Integrationsgrenzen in beiden Integralen Konstanten sind und die Funktion \(\alpha^x\) sowohl in \(\alpha\) als auch in \(x\) stetig ist, können wir die Integrationsreihenfolge vertauschen:
$$I=\int\limits_a^b\left(\int\limits_0^1\alpha^xd\alpha\right)dx=\int\limits_a^b\left[\frac{\alpha^{x+1}}{x+1}\right]_{\alpha=0}^1dx=\int\limits_a^b\left(\frac{1}{x+1}-0\right)dx$$$$\phantom{I}=\left[\ln|x+1|\right]_a^b=\ln|b+1|-\ln|a+1|=\ln\left|\frac{b+1}{a+1}\right|$$
