Analytische Lösung für ein Integral gesucht, falls diese existiert.

Question

Hallo liebe Helfer,

wir sitzen hier schon den ganzen Tag an einer Übungsaufgabe und kommen nicht wirklich weiter. Es geht um die Berechnung eines Integrals. Unser aller Freund Wolfram liefert eine Lösung, in der das Exponentialintegral Ei(x) vorkommt. Die Aufgabe lautet:

$$\int_0^1\frac{\alpha^b-\alpha^a}{\ln(\alpha)}d\alpha$$

Hier wurde uns schon oft gut geholfen, daher hoffen wir, dass einer von euch eine Idee hat. Oder Vielleicht hat jemand eine Begründung, warum es keine analytische Lösung gibt?

Vielen Dank schon vorher

Maddegini

Answer 1

Aloha :)

Man sieht das Integral und wundert sich sofort über die Integrationsvariable $\alpha$. Weil $\alpha$ gerne als Variable bei Parameterintegralen verwendet wird, habe ich folgenden Lösungsweg probiert.

Man kann den Integranden selbst als Integral schreiben, denn:$$F(\alpha)=\int\limits_a^b\alpha^xdx=\int\limits_a^be^{x\ln\alpha}dx=\left[\frac{e^{x\ln\alpha}}{\ln\alpha}\right]_a^b=\left[\frac{\alpha^x}{\ln\alpha}\right]_a^b=\frac{\alpha^b-\alpha^a}{\ln\alpha}$$Daher ist:$$I=\int\limits_0^1\frac{\alpha^b-\alpha^a}{\ln\alpha}d\alpha=\int\limits_0^1\left(\int\limits_a^b\alpha^xdx\right)d\alpha$$Da die Integrationsgrenzen in beiden Integralen Konstanten sind und die Funktion $\alpha^x$ sowohl in $\alpha$ als auch in $x$ stetig ist, können wir die Integrationsreihenfolge vertauschen:

$$I=\int\limits_a^b\left(\int\limits_0^1\alpha^xd\alpha\right)dx=\int\limits_a^b\left[\frac{\alpha^{x+1}}{x+1}\right]_{\alpha=0}^1dx=\int\limits_a^b\left(\frac{1}{x+1}-0\right)dx$$$$\phantom{I}=\left[\ln|x+1|\right]_a^b=\ln|b+1|-\ln|a+1|=\ln\left|\frac{b+1}{a+1}\right|$$

Comments

Darauf muss man erstmal kommen...

Vielen Dank (wieder Mal) für deine Hilfe.