Mindestens zweimal eine Sechs zu würfeln bedeutet: nicht genau keinmal eine Sechs und nicht genau 1 mal eine Sechs zu würfeln. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, bei n Würfen mindestens zwei mal eine Sechs zu würfeln gleich der Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses abzüglich der Wahrscheinlichkeiten, bei n Würfen genau keinmal oder genau einmal eine Sechs zu würfeln.
Es ist also die Anzahl n der Würfe so zu bestimmen, dass gilt:
1 - B ( n , 0 , 1 / 6 ) - B ( n , 1 , 1 / 6 ) ≥ 0,9
( wobei B ( n , k , p ) die Binomialverteilung ist mit
n = Anzahl Versuche, k = Anzahl Treffer, p = Wahrscheinlichkeit für einen Treffer )
<=> 1 - ( n über 0 ) * ( 1 / 6 ) 0 * ( 5 / 6 ) n - ( n über 1 ) * ( 1 / 6 ) 1 * ( 5 / 6 ) n - 1 ≥ 0,9
<=> 1 - 1 * 1 * ( 5 / 6 ) n - n * ( 1 / 6 ) * ( 5 / 6 ) n - 1 ≥ 0,9
<=> 1 - ( 5 / 6 ) n - ( n / 6 ) * ( 5 / 6 ) n - 1 ≥ 0,9
<=> 0,1 ≥ ( 5 / 6 ) n + ( n / 6 ) * ( 5 / 6 ) n - 1
<=> 0,1 ≥ ( 5 / 6 ) n - 1 ( ( 5 / 6 ) + ( n / 6 ) )
<=> 0,1 ≥ ( 5 / 6 ) n - 1 ( ( 5 + n ) / 6 )
Das mag man nun ausrechnen (nach n auflösen) ...
Es ergibt sich (positive Lösung)
n ≥ 21,8478...
Man muss also mindestens 22 mal würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens zwei mal eine Sechs zu würfeln.
