Question

Ist der Quotient aus einer irrationalen Zahl x und einer rationalen Zahl y rational oder irrational?

Ich versuche es mal mit einem Widerspruchsbeweis:

Da y rational, gilt: y= m/n  mit n ungleich 0, m ∈ℤ und n∈ℕ.

Wäre der Quotient rational müsste es eine Zahl z geben mit a/b, b ungleich 0 und a∈ℤ und n∈ℕ ,sodass

x: (m/n) = a/b   I • (m/n)

x = (a*m)/(b*n)

Da aber a*m ∈ℤ und b*n∈ℕ ist x eine rationale Zahl, was aber einen Widerspruch zur Annahme liefert.

Somit ist der Quotient eine irrationale Zahl.

Answer 1

Du hast das meiste richtig gemacht, aber ein paar Ungenauigkeiten eingebaut.

-----

Der Widerspruchsbeweis muss mit der Annahme beginnen. Also:

Es wird angenommen, dass der Quotient x:y rational ist, d.h. es gibt eine Zahl z usw.

-----

Der letzte Satz muss dann lauten:

Der Quotient aus einer irrationalen Zahl und einer rationalen Zahl ist irrational.

:-)

Answer 2

Somit ist der Quotient eine rationale Zahl.

Nein. Es ist übrigens viel einfacher.

Aus (irrationale Zahl) : (rationale Zahl) = Quotient

folgt

(rationale Zahl) * Quotient = (irrationale Zahl)

Wenn der Quotient auch rational wäre ... Widerspruch!

Comments

Nein. Es ist übrigens viel einfacher.

Warum nein?

Du benutzt in deiner Argumentation doch auch, dass rationale Zahl * rationale Zahl wieder rational ist?

Oder störst du dich daran, dass ich schreiben müsste: also ist x eine rationale Zahl?

---

Warum nein?

Du hast behauptet

Somit ist der Quotient eine rationale Zahl.

Er ist aber irrational. Wenn du das ausdrücken wollte, hast du nicht klar genug die Folgerung aus der Gegenannahme von der eigentliche Feststellung getrennt.

---

Die Annahme war: x ist irrational.

x = (a*m)/(b*n)



Da aber a*m ∈ℤ und b*n∈ℕ ist x eine rationale Zahl, was aber einen Widerspruch zur Annahme liefert.

Damit wurde gezeigt, das x rational ist, was der Annahme widerspricht?

---

Fehler gefunden und verbessert. So muss es passen.

Answer 3

Aloha :)

Eine irrationale Zahl ist z.B. \(\pi\). Eine rationale Zahl ist z.B. \(1\). Der Quotient \(\frac{\pi}{1}=\pi\) ist irrational. Damit hast du ein Beispiel dafür, dass der Quotient im allgemeinen nicht rational ist.