Wie bestimme ich A max.?

Question

Aufgabe:

Ein rechteckiger Spiegel mit den Maßen: 10*6 dm, ist an der oberen Ecke ein rechtwinkliges Dreieck zersprungen.
Die zersprungene Seite hat die Maße 1,5*1 dm (Hypotenuse ist unbekannt).
Aus dem Rest von Spiegel soll eine neue rechtwinklige Form verarbeitet werden. Ziel: Den Spiegel mit maximal großer Fläche zu verkaufen.

Problem/Ansatz:

Es gibt bei der Berechnung der Lösung 3 Varianten.

Meine Vorgehensweise ist..

Skizze

Gleichungssystem

Steigung y=m*mx+b

Lineale Funktion

Winkelfunktion (Tangente)

Ich komme einfach nicht zum Ergebnis, was mache ich verkehrt?

Lösung: A = a*b= 8,75 * 5,83334 = 51,04 dm

Comments

5,83334 ist falsch gerundet. Periode 3 wird abgerundet, also 5,83333.

:-)

Answer 1

Aloha :)

Von der Bruchkante sind 2 Punkte bekannt \((0|5)\) und \((1,5|6)\). Den \(y\)-Achsenabschnitt der zugehörigen Geradengleichung können wir aus dem Punkt \((0|5)\) zu \(b=5\) ablesen. Die Steigung \(m\) der Geraden finden wir über$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6-5}{1,5-0}=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}$$Die Geradengleichung der Bruchkante lautet also:$$y=\frac{2}{3}x+5$$

~plot~ 6*(x>=0)*(x<=10) ; 2/3x+5 ; [[-1|11|0|7]] ~plot~

Wenn wir den Spiegel bis zum Punkt \((x|y)\) der Bruchkante zurecht schneiden, ist seine Fläche$$A(x,y)=(10-x)\cdot y$$Da wir uns entlang der Bruchkante bewegen, können wir \(y\) mit Hilfe der Geradengleichung ersetzen:

$$A(x)=(10-x)\cdot \left(\frac{2}{3}x+5\right)=\frac{20}{3}x-\frac{2}{3}x^2+50-5x$$$$A(x)=50+\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}x^2\quad;\quad x\in\left[0\,;\,\frac{3}{2}\right]$$Beachte bitte, dass wir den Wertebereich von \(x\) so eingeschränkt haben, dass wir die Bruchkante nicht verlassen. Zum Auffinden der Extrema müssen wir die Ableitung gleich 0 setzen.$$0\stackrel{!}{=}A'(x)=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}x\quad\Rightarrow\quad4x=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{4}$$

Der zurecht geschnittene Spiegel hat also die Fläche:$$A_{\text{max}}=A\left(\frac{5}{4}\right)=50+\frac{5}{3}\cdot\frac{5}{4}-\frac{2}{3}\cdot\frac{25}{16}=\frac{1225}{24}\approx51,0417$$

Answer 2

Es gibt 2 Varianten,

1. Variante

Einheiten in dm,

Seien die Eckpunkte des Spiegels gegeben mit P1(0; 0) ; P2(10; 0) ; P3 (10; 6) ; P4 (0; 6)

Die Bruchkante mit

g(x)=1,5 x + 4,5     0≤x≤1,0

A(x) = 4,5 *10 - 4,5x +(10,0-x)*1,5x

A(x) = -1,5x² +10,5 x + 45 Einheit in dm²

A(0)= 45 dm²   A( 1)=6,0*9,0 = 54,0 dm²

A'(x) = -3x +10,5

0=-3x + 10,5

3x = 10,5

x = 3,5 dm Maximum

da A"(x) = - 3 <0

Doch das liegt außerhalb des Definitionsbereichs daher wird der größt mögliche Spiegel die Maße 9,0 × 6, haben.

A(1)= 54 dm² ist die  Fläche des größt möglichen Rechtecks.

Variante 2

Die Bruchkante sei bei(x)
g(x)= 2/3 x + 5,0    0≤x≤1,5

A(x) = 5 *10 - 5x +(10,0-x)*x*2/3
A(x) = -2 /3 x² +5/3 x + 50 Einheit in dm²

A(0)= 50 dm²  A( 1)=6,0*8,5 = 51 dm²

A'(x)= - 4/3 x + 5/3

0= - 4/3 x + 5/3

x= 1,2 liegt außerhalb des Definitionsbereichs

A( 1)=6,0*8,5 = 51 dm²

A(1)= 51 dm² ist die Fläche des größt möglichen Rechtecks.

Dessen Maße betragen 8,5×6 dm.