Question

Bestimme Grundperiode, Nullstellen und die x∈ℝ für die f ihre Max- bzw. Minimalwerte annimmt.

$$ f\left( x \right) =|\sin { \frac { x }{ 3 }  } ||\sin { \frac { 2x }{ 3 }  } ||\cos { \frac { x }{ 3 }  } | $$

Kann mir jemand den Rechenweg zeigen?

Answer 1

$$ f\left( x \right) =|\sin { \frac { x }{ 3 } } ||\sin { \frac { 2x }{ 3 } } ||\cos { \frac { x }{ 3 } } | $$
substituiere
$$\phi=\frac x 3$$
$$ f\left( 3 \phi \right) =|\sin { \phi } ||\sin {2 \phi } ||\cos { \phi } | $$
Beträge durch Klammern ersetzen - später prüfen , ob das so einfach geht ... und beweisen.
$$ f\left( 3 \phi \right) =\sin { \phi } \cdot \sin {2 \phi } \cdot\cos { \phi }  $$
$$ f\left( 3 \phi \right) =\left(\sin { \phi } \cdot\cos { \phi } \right) \cdot \sin {2 \phi } $$
$$ f\left( 3 \phi \right) =\left(\frac 12\sin { 2 \phi }  \right) \cdot \sin {2 \phi } $$
$$ f\left( 3 \phi \right) =\frac 12 \left(\sin { 2 \phi }  \right)^2 $$
$$ f\left( 3 \phi \right) =\frac 12 \left(\frac 12(1-\cos { 4 \phi })  \right) $$
$$ f\left( 3 \phi \right) =\frac 14 \left(1-\cos { 4 \phi }  \right) $$
Resubstitution
$$ f\left( 3 \frac x 3 \right) =\frac 14 \left(1-\cos { 4 \frac x 3 }  \right) $$
$$ f\left(  x  \right) =\frac 14 -\frac 14\cos {  \frac 4 3 x}   $$


nun bequem Kurvendiskussion durchführen ...