Kettenregel am Beispiel f(x) = 3/(4(2x+1)^2)

Question

 

ich habe eine Frage. =) 

 

Ich habe das Beispiel f(x) = 3/(4(2x+1)²)

wie kann ich das umschreiben? =( 

das weiß ich leider nicht. 

Answer 1

 

f(x) = 3 / [4(2x+1)²] =

3/4 * 1/(2x + 1)² =

3/4 * (2x + 1)^-2

Soweit klar?

 

Die innere Funktion lautet

2x + 1,

deshalb die innere Ableitung

2

 

Die äußere Funktion lautet

x^-2

die äußere Ableitung deshalb

-2 * x^-3

in diesem Falle also

-2 * (2x + 1)^-3

(Das "Innere" wird als Konstante behandelt.)

 

3/4, mit dem der Term multipliziert wird, bleibt als Konstante in der Ableitung stehen.

 

Konstante * Innere Ableitung * äußere Ableitung ergibt insgesamt

f'(x) = 3/4 * 2 * (-2) * (2x + 1)^-3 =

-3 * (2x + 1)^-3 =

-3 / (2x + 1)³

 

Und wieder:

Besten Gruß :-)

Comments

ich verstehe dein Rechenweg nicht =(

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Ab welcher Stelle?

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naja ab der stelle 3/4*1/(2x+1)^2


ich kann diese sachen eben nicht umschreiben, hast du vielleicht ein anderes beispiel was ich umschreiben kann? damit ich so was üben kann?

wenn eine zahl unter dem bruchstrich steht wird es zu -1 oder -2, dass weiß ich. =)


lg

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Würde sagen, wir bleiben bei diesem Beispiel - irgendwann kommst Du ohnehin nicht um solche Aufgaben herum :-)

 

3/4 * 1/(2x + 1)²

 

Um die 3/4 brauchen wir uns nicht zu kümmern; als Konstante bleibt es in der Ableitung stehen.

Wenn Du zum Beispiel die Funktion f(x) = 2 * x³ gegeben hast, dann ist die Ableitung ja

2 * 3 * x²

 

Wie Du schon richtig schreibst, kann man

1/x² schreiben als x^-2

Wenn wir das Vorzeichen des Exponenten ändern, wandert die Potenz entweder vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt.

So könnte man auch x² schreiben als 1/x^-2

 

In unserem Beispiel wird also

1/(2x + 1)²

anders geschrieben als

(2x + 1)^-2

Wir haben das Vorzeichen des Exponenten geändert, und nun steht (2x + 1) nicht mehr im Nenner eines Bruchs, sondern im Zähler des Bruchs (2x + 1)^-2 / 1 = (2x + 1)^-2

 

Dieses

(2x + 1)^-2

besteht aber praktisch aus zwei hintereinander geschalteten Funktionen. Wenn Du den Wert für ein bestimmtes x berechnen wolltest, würdest Du ja zunächst

2x + 1

ausrechnen,

das ist die "innere Funktion".

Dann würdest Du das Ergebnis hoch -2 nehmen, das ist die "äußere Funktion".

 

Formal schreibt man so etwas als

f(g(x))

g(x) ist die innere Funktion, die wir zuerst auf x anwenden, hier also 2x + 1,

f(g(x)) ist die äußere Funktion, die wir danach auf das Ergebnis von g(x) anwenden, also das hoch -2 nehmen.

 

Wenn wir jetzt f(g(x)) ableiten wollen, müssen wir sowohl von der inneren Funktion die Ableitung bestimmen

Innere Funktion hier:

g(x) = 2x + 1

Also

g'(x) = 2

 

als auch von der äußeren Funktion, wobei die innere Funktion als Konstante stehen bleibt:

Äußere Funktion hier:

f(x) = (2x + 1)^-2

Deren Ableitung

f'(x) = -2 * (2x + 1)^-3

und diese schließlich miteinander multiplizieren.

 

________________________________________________________________________________

 

Insgesamt ist also die Ableitung der Funktion

f(x) = 3/4 * 1/(2x + 1)²

f'(x) = Konstante * Innere Ableitung * Äußere Ableitung

3/4 * 2 * -2 * (2x + 1)^-3

 

Dann multipliziert man den ganzen Term aus und erhält schlussendlich

-3 * (2x + 1)^-3

 

Schau Dir das bitte einmal in Ruhe an, ich hoffe, es wird Dir dann klarer :-)

 

Lieben Gruß

Answer 2

Hi Charlotte,

warum willst Du das Umschreiben? Zum Ableiten mit der Kettenregel ist das doch perfekt ;).

f(x) = 4(2x+1)²

f'(x) = 4*2(2x+1)*2 = 16(2x+1)

 

Du könntest natürlich f(x) auch als Summe schreiben und summandenweise ableiten (immer vorausgesetzt Du willst letztlich ableiten ;)).

 

Grüße

Comments

Hallo Unknown!

Meine Aufgabe ist f(x) = 3    durcch unten steht 4(2x+1)^2


weißt du was ich jetzt meine? welches Problem ich jetzt habe?

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Aso^^ Ich dachte das wäre das dritte Beispiel welches durch den "Nenner" beschrieben wird^^.

f(x) = 3/4(2x+1)^2 = 3/4*(2x+1)^{-2}

So wie wir es vorher die ganze Zeit gemacht haben :).

Aber willst Du das nun ableiten oder nicht?

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Lieber Unknown!

Die Aufgabe ist 4÷ (geteilt durch) 4(2x+1)^2

 weißt du jetzt was gemeint ist?

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Du meinst 3÷ (geteilt durch) 4(2x+1)² ?

Das hatte ich schon verbessert :).

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Ja das meine ich. =)
ich weiß nicht wie ich das unter dem strich umschreiben soll...

 ich weiß schon das ^2 umgeschrieben wird zu ^-2 aber weiter weiß ich auch nichts mehr. =)

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Hab ich doch vorgemacht ;). Die 4 würde ich einfach mal lassen. Und dann "ganz normal" das Quadrat in ein (-2) überführen wie Du es sagst:

f(x) = 3/(4(2x+1)²) = 3/4 * 1/(2x+1)^2 = 3/4 * (2x+1)^{-2}

 

Wenn Du die 4 auch oben haben willst zwei Möglichkeiten.

1. 3/4 = 0,75

2. 3/4 = 3*4^{-1}

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wieso mal 1? wie kommt man darauf? =(

kannst du mir das nochmal erklären? :O
lg

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Wenn Du einen Bruch hast: 3/4, kannst Du das auch schreiben als 3*1/4 :)

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Okay aber der bruch geht über die  ganze aufgabe 4(2x+1)^2 <--- das steht auch alles unter dem bruch also..
3

-------------

4(2x+1)^2

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Das habe ich doch schon die ganze Zeit so berücksichtigt.


$$\frac{a\cdot b}{c\cdot d} = \frac ac\cdot\frac bd$$

Du kannst das auseinander schreiben! Das habe ich mit 3/4 gemacht. Das habe ich vorgezogen um es für Dich verständlicher zu machen!

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achso, dass konnte ich ja nicht wissen...

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:D

Jetzt weißt Du es und solltest es Dir auch unbedingt einprägen. Eine wichtige wie aber auch grundlegende Regel :).