Wie sind r und h zu wählen?

Question

Ein oben offener Kessel mit vorgegebenem Oberflächeninhlt soll aus einer Halbkugel und einem darauf aufgesetztem Zylindermantel zusammengesetzt werden, sodass der Rauminhalt des Kessels möglichst groß wird.Wie sind Radius r und Höhe h zu wählen?

Comments

hi

kommt für den radius r = √(A/(2π)) raus? ich finde hier an einer stelle meiner Rechnung etwas eigenartig, deshalb spare ich mir lieber erstmal den lösungsweg.

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ich hab keine Ahnung was rauskommt, darum frage ich ja :D. V ist ja =pi*r^2*h+2/3 pi*r^3. muss man jetzt nach h oder r auflösen?

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ja, das kommt raus. das bestätigt die rechnung von mathecoach. siehe unten. er hat die oberfläche lediglich mit O bezeichnet. r = √(A/(2π)) da brauchst nix auflösen. nur noch für h einsetzen. siehe mathecoachs lösung.

Answer 1

Ich habe die Aufgabe unter folgendem Link bearbeitet: https://docs.google.com/document/d/1zd8sk0tKSs21lsehkvYUCVOaRDYOqOnUGI9IZVF3LBk/pub

Halbkugel mit aufgesetztem Zylindermantel

 

Ein oben offener Kessel mit vorgegebenem Oberflächeninhalt soll aus einer Halbkugel und einem darauf aufgesetztem Zylindermantel zusammengesetzt werden, sodass der Rauminhalt des Kessels möglichst groß wird. Wie sind Radius r und Höhe h zu wählen?

 

Nebenbedingung:

 

O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·h

h = O/(2·pi·r) - r

 

Hauptbedingung:

 

V = 2/3·pi·r^3 + pi·r^2·h

V = 2/3·pi·r^3 + pi·r^2·(O/(2·pi·r) - r)

V = 2/3·pi·r^3 + O·r/2 - pi·r^3

V = O·r/2 - pi·r^3/3

 

Maximum V' = 0

 

V' = O/2 - pi·r^2 = 0

r = √(O/(2·pi))

 

V'' = - 2·pi·r < 0 --> Maximum

 

h = O/(2·pi·r) - r = O/(2·pi·√(O/(2·pi))) - √(O/(2·pi)) = 0

 

Der Kessel sollte nur aus einer Halbkugel bestehen, damit das Volumen maximal wird.

Comments

ich muss die selbe Aufgabe lösen, allerdings verstehe ich die Rechenwege nicht ganz, kannst du sie nochmal erläutern, warum du jeweils auf diese Formel gekommen bist ?

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Würdest du bitte genau Erklären was du nicht verstehst?

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Also die erste nebenbedingung hab ich auch aufgestellt, aber wie kommst du auf die 2. ? Und was beschreiben jeweils die 4 HB und wie kommt da auf r ^3 ?

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Das ist nur eine Nebenbedingung. Die zweite Zeile ist dort die erste aufgelöst nach h. Das solltest du selber wenn notwendig in mehreren Rechenschritten machen.

Kennst du die Formel für ein Kugelvolumen? Da kommt ein r^3 vor. Beschäftige dich mal etwas mit den Formeln, dann wirst du meine Rechnung auch verstehen.

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achso stimmt ja, aber ich habe gerade das problem nach h umstellen, ich kriege da nur Müll raus, kannst du mir die zwischenschritte erläutern?

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Brauchst du nicht mehr, ich hab es geschafft! :)

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Bei der der 4.HB müsste das nicht + pi *r^3 /3 lauten und nicht - ?

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Ich glaube nicht.

2/3 - 1 = - 1/3

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wie kommst du auf die ableitung, kannst du die einzelnen schritte erklären?

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Wo liegen genau die Schwierigkeiten um von 

V = O·r/2 - pi·r³/3 = O/2·r - pi/3·r³

auf

V' = O/2 - pi·r² = 0

zu kommen ?

Da brauchst du nur die Potenzregel.