Extremwertaufgabe Sechseck pyramidenförmiges Zelt

Question

Aufgabe:

Aus 6 Stangen der Länge s = 4 m ist ein Gerüst für ein pyramidenförmiges Zelt aufzustellen, das als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck hat. Wie ist die Höhe des Zeltes zu wählen, damit es möglichst großes Volumen hat? Berechnen Sie dieses maximale Volumen!

Problem/Ansatz:

Da ich absolut versage und kaum eine Idee habe wie ich an diese Art der Aufgaben angehe erhoffe ich mir hier Hilfe.

Ich danke schonmal im Voraus

Answer 1

Hauptbedingung:

Der Flächeninhalt der Grundfläche \(G\) (des Sechsecks) ist der Flächeninhalt von sechs gleichseitigen Dreiecken also:$$G=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ Die allgemeine Formel für das Volumen eines Spitzkörpers ist \(V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h\) in unserem Beispiel ist das also:$$V=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{a^2}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot h$$ Nebenbedingung:

Die Nebenbedingung erhältst Du vermöge des Satzes von Pythagoras:$$h=\sqrt{s^2-a^2}$$ Formal muss man die Nebenbedingung noch größer gleich 0 setzen - habt ihr das gemacht? Da kommt \(x\in[-4;4]\) raus.

Kurvendiskussion: 

Quadriere die Funktion \(V(a)\) und erhalte:$$V(a)^2=-0.75a^6+12a^4$$ Leite die Funktion ab und erhalte:$$V'(a)^2=-4.5a^5+48a^3$$ Setze die Funktion gleich \(=0\):$$-4.5a^5+48a^3=0$$ Wende den Satz vom Nullprodukt an:$$a^3(-4.5a^2+48) \quad|  a_1=0$$$$-4.5a^2+48a=0 \quad \Longrightarrow a_2\approx  3.26599 \quad \vee \quad a_3\approx -3.26599$$ Da es nur einen Wert gibt, der \(\geq0\), ist \(a_2\) die Lösung.

\(\therefore h=\sqrt{4^2-3.26599^2}\)

Berechnen Sie dieses maximale Volumen!

$$V=\frac{3.26599^2}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{4^2-3.26599^2}≈ 21.33$$

Comments

Es ist h gesucht, nicht a! Ausserdem gibt es noch eine weitere Nebenbedingung, nämlich s=4.

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\(a \vdash h\)

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Was ist \vdash und warum wird aus a denn x?

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\(a \vdash h\) gesprochen:

Aussage \(h\) ist syntaktisch aus Aussage \(a\) ableitbar. wegen:

Es ist h gesucht, nicht a!

Und aus \(x\) wurde wieder \(a\) :)

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Wir möchten (Extremalbedingung)$$V(a,h)=\dots =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot {\color{blue}{a^2}} \cdot h$$maximieren. Dies soll unter der Nebenbedingung$${\color{blue}{a^2}}={\color{green}{4^2-h^2}}$$geschehen, was uns zur Zielfunktion$$V(h)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left({\color{green}{4^2-h^2}}\right) \cdot h$$führt, die für \(0\le h \le 4\) untersucht werden muss. An den beiden Rändern des Definitionsbereichs ist das Zeltvolumen rechnerisch 0, was auch anschaulich klar ist. Somit findet sich die von uns gesuchte Höhe unter den Nullstellen von \(V'(h)\).

So einfach könnte der Ansatz sein.

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Und was ist an meinem Ansatz dann falsch?! :D

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Ob etwas daran falsch ist, habe ich nicht im einzelnen untersucht. Möglich ist der Ansatz schon. Ich finde ihn nur sehr kompliziert.

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Kompliziert(er) ist er, aber nicht schwer!

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Nein, schwer nicht. Mein Taschenrechner bestätigt mit meinem Ansatz deine Ergebnisse:

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Da sind wir uns ja einig!

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Hallo Anton,

... der Grundfläche G (des Sechsecks) ist der Flächeninhalt von sechs gleichseitigen Dreiecken also: $$G=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Das ist die Fläche eines der sechs Dreiecke, aber später hast Du es dann richtig eingesetzt.

Der Faktor \(6\) spielt interessanter Weise gar keine Rolle! Es reicht, dass das Volumen proportional zur Höhe \(h\) und zum Quadrat der Seite \(a\) ist: $$V \propto   ha^2 \implies V = kha^2, \quad k = \text{konstant}$$mit Aufstellen der Lagrange Funktion $$L(h,a,\lambda) = kha^2 + \lambda(h^2 + a^2 - s^2)$$nebst Ableiten, Nullsetzen ... $$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial h} &= ka^2 + 2\lambda h &&= 0\\ \frac{\partial L}{\partial a} &= 2kha + 2\lambda  a && = 0 &\left| \cdot \frac ha\right. \end{aligned}$$... zweite Gleichung mit \(h/a\) multiplizieren und beide von einander abziehen$$ka^2 - 2kh^2 = 0 \implies a^2 = 2h^2$$Einsetzen in die Nebenbedingung$$h^2 + 2h^2 - s^2 = 0 \implies h = s \sqrt {\frac 13}$$gibt die Höhe \(h\) in Abhängigkeit der Stangenlänge \(s\) und keine Potenz ist ist größer als 2 und Wurzelausdrücke kommen trotzdem keine vor.

Gruß Werner

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So, habe die Rechnung jetzt verstanden! Das ist in der Tat verwunderlich.