Aloha :)
Wir sollen die Funktion \(g(F,C)\) und der Nebenbedingung \(h(F,C)\) optimieren:$$g(F,C)=F^{0,4}C^{0,6}\quad;\quad h(F,C)=5F+2C-240\stackrel{!}{=}0$$Wir bilden die Gradienten:$$\operatorname{grad}(g)=\begin{pmatrix}0,4F^{-0,6}C^{0,6}\\0,6F^{0,4}C^{-0,4}\end{pmatrix}\quad;\quad\operatorname{grad}(h)=\binom{5}{2}$$Gemäß Lagrange muss die Determinante mit den Gradienten als Spaltenvektoren (oder Zeilenvektoren) verschwinden:
$$0\stackrel{!}{=}\left|\begin{array}{r}0,4F^{-0,6}C^{0,6} & 5\\0,6F^{0,4}C^{-0,4} & 2\end{array}\right|=0,8F^{-0,6}C^{0,6}-3F^{0,4}C^{-0,4}$$Wir vereinfachen die erhaltene Gleichung:
$$\left.0=0,8F^{-0,6}C^{0,6}-3F^{0,4}C^{-0,4}\quad\right|\quad\cdot C^{0,4}$$$$\left.0=0,8F^{-0,6}C-3F^{0,4}\quad\right|\quad\cdot F^{0,6}$$$$\left.0=0,8C-3F\quad\right|\quad+3F$$$$\left.3F=0,8C\quad\right|\quad\cdot\frac{5}{4}$$$$C=\frac{15}{4}F$$Diese Beziehung setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$0=5F+2C-240=5F+2\cdot\frac{15}{4}F-240=\frac{25}{2}F-240$$Damit sind wir fertig:$$F=\frac{240\cdot2}{25}=\frac{96}{5}\quad;\quad C=\frac{15}{4}F=72$$
