Berechnen Sie den Abstand Punkt-Gerade und Gerade-Gerade

Question

Aufgabe:

Seien \(q:= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_1:= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + Span(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} )\) und \(g_2:= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + Span(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} )\).

Berechnen Sie

a) den Abstand zwischen \(q\) und \(g_1\).

b) den Abstand zwischen den beiden Geraden.

Problem/Ansatz:

a) Erstmal berechnet man \(b = (\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\ - \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} )x\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \).

und dann berechnet man \(dist(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\ , \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + Span(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}) = | \langle <n, (\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\ - \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}  \rangle\)|.

\( n = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Das bedeutet der Abstand beträgt 14.

b) Der Abstand zwischen g1 und g2 ist 7.

Was bekommt ihr raus?

Answer 1

Hallo,

a)$$d(q,g_1)=\frac{\left|\left |\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}\times \left(\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\-3\\0 \end{pmatrix}\right)\right | \right |_{\, \, 2}}{\left |\left |\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}\right | \right |_{\,\, 2}}=3$$ b) Die Geraden sind windschief. Es gilt$$d(g_1,g_2)=\left | \left |\left \langle \begin{pmatrix} 1\\-3\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix},\vec{n}\right \rangle \right | \right |_{\, \, 2}$$ wobei \(\vec{n}\) normiert ist und orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren der Geraden steht. Den findest du über das Kreuzprodukt.