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Aufgabe:

Seien q : =(010)q:= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} und g1 : =(130)+Span((011))g_1:= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + Span(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) und g2 : =(031)+Span((102))g_2:= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + Span(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ).


Berechnen Sie

a) den Abstand zwischen qq und g1g_1.

b) den Abstand zwischen den beiden Geraden.


Problem/Ansatz:

a) Erstmal berechnet man b=((010) (130))x(011)=(411)b = (\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\ - \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} )x\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} .

und dann berechnet man dist((010) ,(130)+Span((011),(411))=<n,((010) (130)dist(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\ , \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + Span(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}) = | \langle <n, (\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\ - \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle|.

n=(244) n = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}

Das bedeutet der Abstand beträgt 14.

b) Der Abstand zwischen g1 und g2 ist 7.

Was bekommt ihr raus?

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Hallo,

a)d(q,g1)=(011)×((010)(130))  2(011)  2=3d(q,g_1)=\frac{\left|\left |\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}\times \left(\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\-3\\0 \end{pmatrix}\right)\right | \right |_{\, \, 2}}{\left |\left |\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}\right | \right |_{\,\, 2}}=3 b) Die Geraden sind windschief. Es giltd(g1,g2)=(130)(031),n  2d(g_1,g_2)=\left | \left |\left \langle \begin{pmatrix} 1\\-3\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix},\vec{n}\right \rangle \right | \right |_{\, \, 2} wobei n\vec{n} normiert ist und orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren der Geraden steht. Den findest du über das Kreuzprodukt.

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