Matrix - AC muss die Summe von Vielfachen der Spaltenvektoren A sein.

Question

Hallo Community, ich stehe leider voll an der Wand. Vielleicht kann mir jemand erklären wie ich diese Aufgabe lösen kann?

Aufgabe:

Gegeben ist die Matrix A

1	1	1
2	-1	2
2	2	-1

und der Vektor C

4

-3

2

Fasst man die Spalten der Matrix A als Vektoren auf, so entspricht AC einer Summe von Vielfachen dieser Spaltenvektoren - welcher? gib eine geometrische Interpretation an.

Ansatz:
Ich hab wirklich keine Ahnung wie ich da vorgehen soll.
Ein Versuch war es, die Summe der Spaltenvektoren zu errechnen, da komme ich auf

3

3

3

Danach berechne ich mir AC

3

15

0

und nun steh ich an. AC ist kein Vielfaches von der Summe der Spaltenvektoren...

Freue mich über jede Hilfe.
Vielen Dank,
LG

Answer 1

Aloha :)

$$\mathbf A=\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1\\2 & -1 & 2\\2 & 2 & -1\end{array}\right)\quad;\quad \vec c=\begin{pmatrix}4\\-3\\ 2\end{pmatrix}$$

Fasst man die Spalten der Matrix A als Vektoren auf, so entspricht Ac einer Summe von Vielfachen dieser Spaltenvektoren - welcher? gib eine geometrische Interpretation an.

Du kannst die spaltenvektoren der Matrix \(\mathbf A\) als "Basis" auffassen. Die \(i\)-te Komponente \(c_i\) von \(\vec c\) gibt das Vielfache des \(i\)-ten Basisvektors in der Summe an: $$\mathbf A\cdot \vec c=4\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$$Das ist auch die geometrische Interpretation.

Comments

Vielen Dank für die tolle Erklärung!
Jetzt Blicke ich etwas mehr durch :)

Answer 2

Dann stellen die vielfachen x,y,z der Spalten

\(   A \;   \, \left( \begin{aligned}x \\ y \\ z \end{aligned} \right)= \left(\begin{array}{r}3\\15\\0\\\end{array}\right) = A \; c \)

\(  \left( \begin{aligned}x + y + z   \\ 2 \; x - y + 2 \; z   \\ 2 \; x + 2 \; y - z  \end{aligned} \right)= \left(\begin{array}{r}3\\15\\0\\\end{array}\right)   \)

ein lineares GS Ax = b dar.

Geometrisch kann man sich den Schnittpunkt 3 er Ebenen des Raumes in c vorstellen.

Comments

Vielen Dank für deine Erklärung!
Die hat mir schon ziemlich geholfen die Aufgabe zu verstehen.
In Kombination mit Tschakabumba´s Antwort bleiben keine Fragen mehr offen :)

Nochmals vielen Dank!