Bestimmen Sie die Potenzsumme S_{n}^{4}

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Potenzsumme S_{n}^{4}.

Problem/Ansatz:

Bin auf die faulhabersche Formel gestoßen aber hatte die Bernoulli Zahlen noch nicht. Muss ich mich dann vorerst in diese einlesen oder schweife ich damit von der eigentlichen Rechnung ab? Würde mich über Ansätze sehr freuen. Vielen Dank!:)

Answer 1

Wenn du nur die Summe der k^4 brauchst, dann nimm

$$\sum \limits_{k=1}^{n}k^4 =\frac{n*(n+1)*(2n+1)*(3n^2+3n-1)}{30}$$

Comments

Danke für deine Antwort aber wie kommt man darauf?

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Kennst du die Potenzsummen für kleinere Potenzen?

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Nur für k und k^2

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Kennst du die Potenzsummen für kleinere Potenzen?

Kommentiert vor 2 Stunden von racine_carrée

Ich verstehe den Zusammenhang nicht, gibt es eine Möglichkeit aus den Potenzsummen der kleineren Potenzen auf die der höheren zu schließen? Gibt es da eine Formel?
Mal abgesehen davon, dass die Summe der Kubikzahlen gleich dem Quadrat der Summe der natürlichen Zahlen ist.

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Wie man aus dem Wissen von \(1+2\cdots + n=\frac{n(n+1)}{2}\) die geschlossene Form für \(1^2+2^2+3^2\cdots +n^2\) herleitet (ausgehend von Teleskopsumme): $$\begin{aligned}  a_{n+1}-a_1 &=  \sum_{i=1}^n \left(a_{i+1}-a_i\right) \qquad |~ a_i = i^3 \cr                     \left(n+1\right)^3-1^3 &=  \sum_{i=1}^n \left(\left(i+1\right)^3-i^3\right) \cr                       \left(n+1\right)^3-1 &=  \sum_{i=1}^n \left(3i^2+3i+1\right) \cr                       \left(n+1\right)^3-1 &= 3\sum_{i=1}^n \left(i^2\right)+{3n\left(n+1\right) \over 2}+n \cr             n^3+{3\over 2}n^2+{1 \over 2}n &= 3\sum_{i=1}^n i^2 \cr {n\left(n+1\right)\left(2n+1\right) \over 6} &= \sum_{i=1}^n i^2 \cr \end{aligned}$$ Mit dem Wissen der 1-er und 2-er-Potenzsumme, kann man nun auch die 3er und damit die 4er herleiten.

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Oh, danke, das kannte ich noch nicht.

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Ich hatte es nun mit der teleskopsumme probiert. Dafür dass diese Aufgabe auf dem übungszettel als kleine Übung markiert ist, ist diese methode doch schon ein ziemlicher schreibaufwand. Ich komme noch nicht auf die von dir gegebene Lösung sondern auf: n^5+(9/2)n^4+n^3+2n^2+(1/3)n

Vermutlich ein einfacher zahlendreher bei mir in der Rechnung.

Answer 2

Du kannst dir zur Not die Koeffizienten auch selbst ausrechnen.

Wenn du also eine Formel für

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{k³} \)

suchst,

(die Formel suchen und anwenden, kann jeder.)

Dann kannst du auch ein Gleichungssystem aufstellen, das wie folgt aussieht.

\( \begin{pmatrix}  1&  1&1&1\\ 2&4&8&16\\ 3&9&27&81\\4& 16&64&256\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\9\\36\\00 \end{pmatrix} \)

Dessen Lösung gibt dir die Werte für a,b,c und d womit folgt,

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{k³} \) = a*n + b* n² + c*n³ +d*n^4

Nun kannst du sagen, die Formel für S(k³) kennst du schon, doch was ist mit \( k^{18} \) mit entsprechenden Aufwand gelingt auch das, zumindest theoretisch, denn die Zahlen werden doch schon recht groß. Bei \( k^{6} \) ist das aber auch praktisch noch machbar.

Wie man die 5. Zeile und 5. Spalte zur Erweiterung der Matrix findet, um dein Problem zu lösen, findest du sicher selbst, ebenso, wie die Vektoren dann aussehen müssen.

Deine Matrix würde also wie folgt aussehen.

\( \begin{pmatrix}  1&  1&1&1&1\\ 2&4&8&16&32\\ 3&9&27&81&243\\4& 16&64&256&1024\\5&25&125&625&3125\end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 1\\  17\\98  \\ 354\\979 \end{pmatrix} \)

Comments

Erstmal vielen Dank Hogar. Leider kann ich aber nicht so ganz nachvollziehen wie du auf das Gleichungssystem kommst

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Wie ich darauf gekommen bin, ist nicht einfach zu erklären, oder anders, das habe ich mir ausgedacht, weil ich auch Formeln gesucht habe für die Summe von Potenzen mit höheren Exponenten. Nun muss ich zugeben, dass ich Faulhaber nicht kannte, wenn man aber nach Faulhabee sucht, findet man keine Auskunft, woher die Zahlen kommen.

Mir ist aufgefallen, dass bei der Summe von n ein Vielfaches von n aber auch ein Vielfaches von n² steht. Das habe ich verallgemeinert

Bei der Summenformel für \( n^{k} \)

benötige ich (k+1) Gleichungen , bei denen auch die \( n^{k+1} \) stehen

Wichtig ist nicht, wie ich darauf gekommen bin, sondern , wie das Gleichungssystem aufgebaut ist und dass das dann auch funktioniert.

Im der ersten Spalte stehen die natürlichen Zahlen n von 1 bis k+1

In der zweiten Spalte deren Quadratzahlen n²

In der dritten Spalte die Kubikzahlen n³

In der k-ten Spalte steht \( n^{k} \)

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Ich habe mal die für deinen Fall gültige Matrix bei meiner Antwort dazu geschrieben.

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Wie bildet sich der Resultierende Vektor?

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Das sind die Summen für die Fälle 1 bis n

Ich habe meine Antwort ergänzt, doch kann ich dir im Moment nicht zeigen, wie ich das Gls auflösen.

Tut mir leid.

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Diesmal per Hand

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Der zweite Teil, ja es ist aufwendig und fehleranfällig.

Deine gesuchte Summe wird also wie fogt berechnet.

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{k^{4}} \) =

- n/30 + n³/3 + n^4/2 + n^5/5