Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von R

Question

Aufgabe:

Es sei ℂ die Menge der komplexen Zahlen. Auf ℂxℂ sei die folgende Relation R definiert: z₁ R z₂ ⇔|z₁| = |z₂|.

a) Weisen Sie nach, dass R eine Äquivalenzrelation ist.

b) Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von R und geben Sie eine geometrische Beschreibung dieser Äquivalenzklassen in der Zahlenebene.

Problem/Ansatz:

mir fhelt irgendwie der Ansatz um die Aufgabe zu lösen. Ich tue mich ein bisschen schwer ohne Zahlen.

Kann mir bitte jemand dabei helfen.

Ich Danke euch schon mal sehr dafür

Gruß Sandy

Answer 1

a)

$$\text{Reflexivität: Für alle } z = a+b\cdot i \in \mathbb{C} \text{ gilt } |z|=\sqrt{a^2+b^2}=|z| \Rightarrow z\in R$$

$$\text{Symmetrie: Sei } (z,z')\in R \text{, dann gilt } |z|=|z'| \Rightarrow |z'|=|z| \Rightarrow (z',z)\in R$$

$$\text{Transitivität: Seien } (z,z'),(z',z'')\in R \text{, dann gilt } |z|=|z'| \\\text{und } |z'|=|z''| \text{ also auch } |z|=|z'|=|z''| \Rightarrow |z|=|z''|\Rightarrow (z,z'')\in R$$

b)

$$\text{Es ist } [z]_R=\{z'\in \mathbb{C}: \ |z|=|z'|\} \text{ die Äquivalenzklasse von } z\in \mathbb{C}$$

$$\text{Anschaulich sind das alle Punkte die auf dem Kreis mit Radius } \\|z| \text{ vom Koordinatenursprung aus in der komplexen Zahlenebene liegen.}$$

Comments

Danke. Also brauch ich ja gar keine Zahlen. Ich muss die Bedingungen von z wissen. Dann ist es ja gar nicht so schwer wie gedacht. Danke