Zunächst sieht eine Äquivalenzklasse auf einer Menge \(X\) mit Äquivalenzrelation \(\sim\) allgemein so aus: Für alle \(a\in X\) ist \([a]:=[a]_{\sim}:=\{x\in X:\ x\sim a\}\subset X\) eine Äquivalenzklasse bzgl. der Relation \(\sim\).
Konkret hast du hier die Teilbarkeitsrelation auf den ganzen Zahlen \(X=\mathbb{Z}\) gegeben, also für ein \(n\in \mathbb{N}\) hat man die Äquivalenzrelation (mit etwas Umschreibung):
\(x,y\in \mathbb{Z}\ :\ x\sim y\quad \Leftrightarrow \ n|(x-y)\quad \Leftrightarrow \quad \exists m\in \mathbb{Z}:\ x-y=m\cdot n\).
Dann hat man für jedes \(z\in \mathbb{Z}\) die Äquivalenzrelation beschrieben durch:
\([z]:=\{x\in \mathbb{Z}:\ x-z=m\cdot n \text{ für ein }m\in \mathbb{Z}\}\\\quad =\{x\in \mathbb{Z}:\ x=m\cdot n+z \text{ für ein }m\in \mathbb{Z}\}\).
Speziell hat man für die ersten natürlichen Zahlen:
\([0]=\{x\in \mathbb{Z}:\ x=m\cdot n+0 \text{ für ein }m\in \mathbb{Z}\}\\\quad =\{x\in \mathbb{Z}:\ x=m\cdot n \text{ für ein }m\in \mathbb{Z}\}\\\quad =\{...,-2\cdot n,-1\cdot n,0,n,2\cdot n,...\}\)
\([1]=\{x\in \mathbb{Z}:\ x=m\cdot n+1 \text{ für ein }m\in \mathbb{Z}\}\\\quad =\{...,-2\cdot n+1,-1\cdot n+1,1,1\cdot n+1,2\cdot n+1,...\}\)
\([n-1]=\{x\in \mathbb{Z}:\ x=m\cdot n+(n-1) \text{ für ein }m\in \mathbb{Z}\}\\\quad=\{x\in \mathbb{Z}:\ x=(m+1)\cdot n-1 \text{ für ein }m\in \mathbb{Z}\}\\\quad =\{...,-2\cdot n-1,-1\cdot n-1,-1,1\cdot n-1,2\cdot n-1,...\}\)
\([n]=\{x\in \mathbb{Z}:\ x=m\cdot n+n \text{ für ein }m\in \mathbb{Z}\}\\\quad=\{x\in \mathbb{Z}:\ x=(m+1)\cdot n \text{ für ein }m\in \mathbb{Z}\}\\\quad =\{...,-2\cdot n,-1\cdot n,0,1\cdot n,2\cdot n,...\}=[0]\)
\([n+1]=\{x\in \mathbb{Z}:\ x=m\cdot n+(n+1) \text{ für ein }m\in \mathbb{Z}\}\\\quad=\{x\in \mathbb{Z}:\ x=(m+1)\cdot n+1 \text{ für ein }m\in \mathbb{Z}\}\\\quad =\{...,-2\cdot n+1,-1\cdot n+1,1,1\cdot n+1,2\cdot n+1,...\}=[1]\)
