Aloha :)
Hier ist etwas Vorsicht geboten. Die Lösung der homogenen DGL ist eine Exponentialfunktion. Den Potenzreihenansatz benötigst du für das Auffinden einer speziellen bzw. der allgemeinen Lösung.$$y'(t)=y(t)-t^2\quad;\quad y(0)=1$$Weil auf der rechten Seite \(t^2\) subtrahiert wird, wählen wir als Ansatz für die spezielle Lösung \(y_s(t)\) ein Polynom 2-ter Ordnung:$$y_s(t)=c_0+c_1\cdot t+c_2\cdot t^2$$Das setzen wir ein und finden:$$\left.\left(c_0+c_1t+c_2t^2\right)'=c_0+c_1t+c_2t^2-t^2\quad\right|\quad\text{links ableiten}$$$$\left.c_1+2c_2t=c_0+c_1t+c_2t^2-t^2\quad\right|\quad\text{alles auf eine Seite}$$$$\left.c_1+2c_2t-c_0-c_1t-c_2t^2+t^2=0\quad\right|\quad\text{zusammenfassen}$$$$\left.(c_1-c_0)+(2c_2-c_1)t+(1-c_2)t^2=0\quad\right.$$Dies muss für alle \(t\) gelten. Das ist nur möglich, wenn alle Koeffizienten Null sind:$$0\stackrel{!}{=}1-c_2\quad\Rightarrow\quad c_2=1$$$$0\stackrel{!}{=}2c_2-c_1=2-c_1\quad\Rightarrow\quad c_1=2$$$$0\stackrel{!}{=}c_1-c_0=2-c_0\quad\Rightarrow\quad c_0=2$$Damit haben wir eine spezielle Lösung gefunden:$$y_s(t)=2+2t+t^2$$
Wir benötigen noch die Lösung \(y_h(t)\) des homogenen Gleichungssystems$$y_h'(t)=y_h(t)$$und stellen sofort fest, dass \(y_h(t)=0\) als triviale Lösung in Frage kommt. Für die folgende Rechnung sei daher \(y_h(t)\ne0\) für alle \(t\) angenommen:$$\left.y_h'(t)=y_h(t)\quad\right|\quad:y_h(t)$$$$\left.\frac{y_h'(t)}{y_h(t)}=1\quad\right|\quad\text{integrieren}$$$$\left.\ln|y_h(t)|=t+s_0\quad\right|\quad s_0=\text{const.}\quad;\quad e^{\cdots}$$$$\left.\left|y_h(t)\right|=e^{t+s_0}=e^t\cdot e^{s_0}\quad\right.$$Da \(s_0\) eine Integrationskonstante ist, muss auch \(s:=e^{s_0}>0\) eine Konstante sein. Um die Betragszeichen um das \(y_h(t)\) zu entfernen, lassen wir für \(s\) auch negative Werte zu. Und zur Berücksichtigung der trivialen Lösung \(y_h(t)=0\) müssen wir auch \(s=0\) zulassen. Damit haben wir als homogene Lösung:$$y_h(t)=s\cdot e^t\quad;\quad s\in\mathbb{R}$$
Die Lösung der DGL ist die Summe aus der homogenen Lösung und einer speziellen Lösung, also:$$y(t)=s\cdot e^t+t^2+2t+2$$Aus dem Startwert folgt der Wert für die Konstante \(s\):$$1=y(0)=s\cdot e^0+0^2+2\cdot0+2=s+2\quad\Rightarrow\quad s=-1$$Damit haben wir schließlich als Gesamtlösung:$$\boxed{y(t)=-e^t+t^2+2t+2}$$
