Aloha :)
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit lautet formal:$$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline B)$$\((A\cap B)\) sind die Ereignisse, die sowohl in \(A\) als auch in \(B\) liegen. \((A\cap\overline B)\) sind die Ereignisse, die in \(A\) liegen ohne diejenigen, die auch in \(B\) liegen. Wenn man beide vereinigt, bekommt man alle Ereignisse aus \(A\).
Satz von Bayes
Die Wahrscheinlichkeit \(P(A\cap B)\) kannst du wie folgt schreiben:$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$$Diese Beziehung ist ganz wichtig! \(P(A)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) eintritt. \(P(B|A)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(B\) eintritt, unter der Voraussetzung, dass \(A\) bereits eingetreten ist. Entsprechend kannst du das auch umformulieren, für den Fall, dass zuerst \(B\) eintritt:$$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$$Der Satz von Bayes folgt daraus rein rechnerisch:$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}$$
Der Bug in deinen Überlegungen
Deine Überlegungen sind unvollständig. Gemäß der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:$$P(A)=\underbrace{\overbrace{P(A|B)\cdot P(B)}^{=P(A\cap B)}}_{\text{hast du}}+\underbrace{\overbrace{P(A|\overline B)\cdot P(\overline B)}^{=P(A\cap\overline B)}}_{\text{fehlt bei dir}}$$Daher kommt der Konflikt mit der Gültigkeit des Satzes von Bayes.
