Kombinatorik: Ermitteln der Wahrscheinlichkeit.

Question

Aufgabe:

Aus jeder der drei Urnen wird eine Zahl "auf gut Glück" gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass die aus den Zahlen gebildete Summe gerade ist.

Die drei Urnen beinhalten:

1. Urne : 2, 3, 4, 5

2. Urne : 4, 6, 5, 7

3. Urne : 2, 1, 8, 5, 10

Problem/Ansatz:

Das Problem, das ich hierbei habe, ist, dass ich nicht genau verstehe wie ich vorzugehen habe.

Answer 1

Aloha :)

Wir schauen uns zunächst die möglichen Kombinationen aus den Urnen 1 und 2 an:$$\begin{array}{r} & {U_1}\atop{2} & {U_1}\atop{3} & {U_1}\atop{4} & {U_1}\atop{5}\\\hline{U_2}\atop{4} & 6 & 7 & 8 & 9\\\hline{U_2}\atop{6} & 8 & 9 & 10 & 11\\\hline{U_2}\atop{5} & 7 & 8 & 9 & 10\\\hline{U_2}\atop{7} & 9 & 10 & 11 & 12\end{array}$$Wir zählen \(8\) gerade und \(8\) ungerade Kombinationen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe aus den ersten beiden Urnen gerade bzw. ungerade ist, beträgt also$$p_{12}(\text{gerade})=\frac{1}{2}\quad;\quad p_{12}(\text{ungerade})=\frac{1}{2}$$In Urne 3 befinden sich \(3\) gerade und \(2\) ungerade Zahlen. Die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl beträgt also \(\frac{3}{5}\) und für eine ungerade Zahl \(\frac{2}{5}\):$$p_{3}(\text{gerade})=\frac{3}{5}\quad;\quad p_{3}(\text{ungerade})=\frac{2}{5}$$Die Summe von 2 geraden Zahlen und die Summe von 2 ungeraden Zahlen ergibt eine gerade Zahl. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe aus allen 3 Urnen eine gerade Zahl ist:$$p_{123}(\text{gerade})=p_{12}(\text{gerade})\cdot p_{3}(\text{gerade})+p_{12}(\text{ungerade})\cdot p_{3}(\text{ungerade})$$$$\phantom{p_{123}(\text{gerade})}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(\frac{1}{2}\).

Comments

Tippfehler bei p₃ (ungerade)

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Danke dir... korrigiert ;)

Answer 2

Eine Summe aus drei Zahlen ist gerade (also durch 2 teilbar), wenn alle drei Zahlen gerade sind oder wenn genau eine Zahl gerade ist. Von den konkreten Zahlen in den Urnen kann man absehen, wenn man lediglich unterscheidet, ob sie gerade oder ungerade sind. Statt Urne1 = {2, 3, 4, 5} kann man also auch Urne1 = {g, u} betrachten.