Aloha :)
Assoziativ: Ja
Distributiv: Ja
Kommutativ: Nein
Beweis Assoziativgesetz:
Seien \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}, B\in\mathbb{R}^{n\times p},C\in\mathbb{R}^{p\times q}\) gegeben. Ihre Größen sind so gewählt, dass ihr Produkt \((AB)C\) definiert ist. Zum Beweis der Assoziativität betrachten wir die \(i\)-te Zeile und \(k\)-te Spalte des Produktes.$$\left[(AB)C\right]_{ik}=\sum\limits_{j=1}^p(AB)_{ij}C_{jk}=\sum\limits_{j=1}^p\left(\sum\limits_{l=1}^n A_{il}B_{lj}\right)C_{jk}=\sum\limits_{j=1}^p\sum\limits_{l=1}^n A_{il}B_{lj}C_{jk}$$$$=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\left(\sum\limits_{j=1}^pB_{lj}C_{jk}\right)=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\left(BC\right)_{lk}=[A(BC)]_{ik}$$
Beweis Distributivgesetz:
Seien \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}, B\in\mathbb{R}^{n\times p},C\in\mathbb{R}^{n\times p}\) gegeben. Dann gilt:
$$[A(B+C)]_{ik}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(B+C)_{lk}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(B_{lk}+C_{lk})$$$$=\sum\limits_{l=1}^n \left(A_{il}B_{lk}+A_{il}C_{lk}\right)=\sum\limits_{l=1}^nA_{il}B_{lk}+\sum\limits_{l=1}^n A_{il}C_{lk}=(AB)_{ik}+(AC)_{ik}$$
Gegenbeispiel Kommutativgesetz:
$$\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}$$Die Ergebnisse beider Multiplikationen sind offensichtlich ungleich.
