Eigenwerte in Abhängigkeit eines Parameters

Question

Hallo,

Aufgabe:

Parameterabhängige Eigenwerte

Problem/Ansatz:

\( \lambda=-\frac{1}{m} \pm \sqrt{\frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{m}} \)

Es handelt sich hier um die Eigenwerte eines Einmassenschwingers. m ist die Masse und liegt im Intervall von [3/4 ; 2].

Für 1<m<2 gibt es ja komplexe Eigenwerte. Um die Wurzelortskurve zu zeichnen, habe ich die Norm gebildet. Ich komme hier auf |λ_1/2| = 1/m.

Setze ich z. B. m=2, erhalte ich jedoch |λ1/2| = \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ich stehe gerade auf dem Schlauch, wo mein Fehler liegt. Ist die Norm falsch berechnet?

Answer 1

Hallo Simon,

Du hast anscheinend beim ersten Mal die Wurzel vergessen. Es ist doch$$\begin{aligned} \lambda &= -\frac{1}{m} \pm i \sqrt{\frac{1}{m}-\frac{1}{m^2}} , \quad m \gt 1 \\ |\lambda| &= \sqrt{\frac 1{m^2} + \frac{1}{m}-\frac{1}{m^2}} = \frac 1{\sqrt m} \\ \lambda(m=2) &= - \frac 12 \pm i \sqrt{\frac 12  -\frac 14} = - \frac 12 \pm \frac 12 i\\ |\lambda(m=2)| &= \frac 12 \sqrt 2 \end{aligned}$$