Nullstellen in Abhängigkeit eines Parameters

Question

Hallo, ich habe folgendes Problem:

Gebe allein mithilfe des Funktionsterms die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit des Parameters an.

fa(x)= (x-1)(x^2-a)

Wie ich die Nullstellen berechnen würde ist mir klar, wie soll ich jedoch nun die Anzahl nur anhand des Funktionsterms herausfinden?

Answer 1

0= (x-1)(x^2-a)

0=(x-1)(x-√a)(x+√a)

Fur a<0 gibt es nur eine reelle Nullstelle bei x =1

Für a=0 gibt es zwei Nullstellen.

  x=1 und x=0 <-- Doppelte Nullstelle

Für a=1 gibt es zwei Nullstellen.

  x=-1 und x=1  <-- Doppelte Nullstelle

Für a>0, a≠1 gibt es drei Nullstellen.

:-)

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Wenn jedoch a<0 ist gibt es aber doch zwei Nullstellen, oder nicht?

Einmal im negativen Bereich und einmal liegt der Graph auf der X-Achse

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Hallo Jasmin,

für negative Werte von a ist x^2-a immer positiv. Daher kann die zweite Klammer nicht Null werden. Außerdem kann aus negativen Zahlen keine Wurzel gezogen werden, wenn man reelle Zahlen voraussetzt.

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Alles klar, danke!

Wie sieht es denn dann bei

fa(x)= (x-a)(x^2-1) aus?

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(x^2-1)=(x-1)(x+1)

(x-a)(x^2-1)

Hier musst du nur unterscheiden, ob a=1 oder a=-1 oder ein beliebiger anderer Wert ist.

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Super!

Vielen Dank!

Answer 2

fa(x)= (x-1)(x^2-a)

(x-1)(x^2-a)=0

1.) x-1=0

x₁=1

2.) x^2-a=0   → x^2=a

x₂=\( \sqrt{a} \)

x₃=-\( \sqrt{a} \)

Anzahl der Nullstellen  (x-1)(x^2-a)=x^3-a*x-x^2+a

Das ist eine Parabel 3.Grades , somit 3 Nullstellen. Diese Nullstellen können auch nicht in ℝ liegen.

Comments

Das ist eine Parabel 3.Grades , somit 3 Nullstellen. Diese Nullstellen können auch nicht in ℝ liegen.

Hallo,

es kann auch doppelte Nullstellen geben.