Eine zweistellige Zahl ist achtmal so groß wie ihre Quersumme. Vertauscht man die Ziffern der Zahl miteinander, so …

Question

Aufgabe:

Eine zweistellige Zahl ist achtmal so groß wie ihre Quersumme.  Vertauscht man die Ziffern der Zahl miteinander, so erhält man eine um 45 kleinere Zahl.    Wie heißt die ursprüngliche Zahl?

Problem/Ansatz:

Lösung unbekannt

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Eine zweistellige Zahl ...

Die Zahl sei \(z=xy\), wobei \(x\) und \(y\) jeweils für eine Ziffer stehen - also \(z=10x + y\)

... ist achtmal so groß wie ihre Quersumme

$$10x + y = 8\cdot (x+y) \implies 2x - 7y = 0$$

Vertauscht man die Ziffern der Zahl miteinander, so erhält man eine um 45 kleinere Zahl.

$$10 y + x + 45 = 10x + y \implies 9x - 9y = 45 \implies x-y = 5$$ich multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\) und ziehe sie von der ersten ab:$$-7y + 2y = -10 \implies -5y = -10 \implies y=2$$Einsetzen in die zweite Gleichung gibt \(x=7\).

Also ist die Zahl \(z=72\). Mache bitte die Probe!

Comments

Nachtrag:

Eine zweistellige Zahl ist achtmal so groß wie ihre Quersumme.

... führt, wie oben gezeigt, zu $$2x-7y=0$$Daraus folgt direkt$$y = \frac 27 x$$da \(x\) und \(y\) ganze Zahlen sein sollen, muss \(x\) durch \(7\) teilbar sein. Die einzige durch \(7\) teilbare ganze Zahl, die auch eine Ziffer \(\gt 0\) ist, ist die \(7\).

Folglich ist \(x=7\) und \(y=2\). Die Angabe, dass die Differenz zur Quersumme \(=45\) ist, ist nicht notwendig.

Answer 2

Eine zweistellige Zahl ist achtmal so groß wie ihre Quersumme.

Also ist die zweistellige Zahl durch 8 teilbar. In Frage kommen nur 16, 24, 32, ...,88, 96.

Vertauscht man die Ziffern der Zahl miteinander, so erhält man eine um 45 kleinere Zahl.

Aso ist die gesuchte Zahl mindestens 45 größer als eine andere natürliche Zahl. Damit entfallen die Möglichkeiten 16 bis 40.

Da außerdem beim Vertauschen der Ziffern die Zahl KLEINER wird, muss also VORHER die Zehnerziffer größer als die Einerziffer gewesen sein.

Damit entfallen die Möglichkeiten 48, 56, 78.

Untersuche nun einfach, welche der verbleibenden Zahlen 64, 72, 96 die Bedingungen der Aufgabe erfüllen.