Weshalb ist es sinnvoll, dass in der Kombinatorik und im Wahrscheinlichkeitsrechen, dass 0! = 1 ist?

Question

Frage:

Weshalb ist es sinnvoll in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnen, dass 0! = 1 ist?

Problem/Ansatz:

0! = 1

1! = 1

2! = 2 * 1 = 2

3! = 3 * 2* 1 = 6

4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

etc.

Ich erkenne, dass das Ergebnis (n + 1) / n = fortlaufend um 1 zunimmt. Zum Beispiel: 2/1 = 2, 6 / 2 = 3, 24 / 6 = 4 und etc.

Ich kann es mir aber nicht erklären, weshalb 0! = 1 sein soll und nicht 0! = 0.

Comments

Es ist bei solchen Definitionen wichtig, dass es keine Widersprüche gibt. Das ist nicht der Fall und 0!=1 kann deshalb so festgelegt werden. Die Gründe dafür stehen in den Antworten.

Ein anderes Beispiel:

1/0 führt zum Chaos und ist deshalb nicht definiert.

:-)

Answer 1

5! = 4! * 5
4! = 3! * 4
3! = 2! * 3
2! = 1! * 2
1! = 0! * 1

Wie müsste in der letzten Zeile 0! definiert sein, damit das Sinn macht?

Die Anzahl der Möglichkeiten die man hat k Elemente aus einer n-Elementigen Menge mit beachtung der Reihenfolge auszuwählen kann man definieren als

n! / (n - k)!

Wie viele Möglichkeiten hat man 5 Elementen aus einer 5-Elementigen Menge mit Beachtung der Reihenfolge auszuwählen.

5! / (5 - 5)! = 5! / 0!

Das soll jetzt aber eigentlich auch 5! sein. wie muss 0! dort definiert sein?

Answer 2

Durch

0!=1 bleibt \( 2^{n} \) =   \( (1+1)^{n} \)

Wenn dieses in die Summe der Binominalkoeffizenten aufgeteilt wird.

\( \begin{pmatrix} n  \\ 0 \end{pmatrix} \) = \( \frac{n!}{0!*n!} \)

ist sonst nicht definiert. Oder

\( \sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n \\ k  \end{pmatrix}} \) ≠ \( 2^{n} \)

Falls 0! anders als 1 definiert wird.