Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er mindestens eine Flasche Cola?

Question

Aufgabe:

Michael braucht wieder einmal dringend eine Cola. Im stockdunklen Keller ertastet er einen Kasten mit 20 gleich aussehenden Flaschen. Allerdings weiss er, dass nur acht Flaschen Cola enthalten sind, der Rest Mineralwasser ist. Er nimmt vier Flaschen aus dem Kasten heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er mindestens eine Flasche Cola?

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe folgendermassen gelöst:

P (A kleinergleich 1) = ((8!/7!*1!)+(12!/9!*3!)) / ((20! / (16! * 4!)) = 0.47 = 47%

Allerdings lautet die Lösung wie folgt:

P (A) = 1 - P (A) = 1 - ((((8! / (8! * 0!)) * ((12! / (8! * 4!))) / (20! / (16! * 4!))) = 1 - ((1*495) / 4845)) = 0.89783 = 89.78%

Ich verstehe nicht ganz was ich mein Fehler ist. Ich habe auch beachtet, dass es oben ein "mindestens" hat, wodurch 0-1 in Frage kommen. Daher wäre meine Frage, was denn genau mein Fehler ist.

Answer 1

Michael braucht wieder einmal dringend eine Cola. Im stockdunklen Keller ertastet er einen Kasten mit 20 gleich aussehenden Flaschen. Allerdings weiss er, dass nur acht Flaschen Cola enthalten sind, der Rest Mineralwasser ist. Er nimmt vier Flaschen aus dem Kasten heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er mindestens eine Flasche Cola?

Mind eine Flasche Cola bedeutet 1, 2, 3 oder 4 Flaschen Cola.

Es bedeutet nicht keine Flasche Cola und daher wird einfacher mit dem Gegenereignis gerechnet.

P(X >= 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 12/20 * 11/19 * 10/18 * 9/17 = 290/323 = 0.8978

Hier finde ich es sehr unklug mit der Formel der Hypergeometrischen Verteilung zu rechnen. Die Pfadregel für Baumdiagramme reicht völlig aus und ist sehr viel einfacher.