Berechnung von weiteren Folgenglieder

Question

Hallo, die Aufgabe lautet :

Wir schreiben das Jahr 2050 . Space X hat es geschafft, die erste bemannte Marsmission durchzufuhren. Was die Astronaut*innen dort vorfanden, verschlug ihnen die Sprache: Der rote Planet war keineswegs unbewohnt, sondern auf ihm lebten intelligente Wesen. Aufgrund der Klimakatastrophe auf ihrem Heimatplaneten, sind die Menschen gezwungen, die Marsatmosphäre an ihre Bedürfnisse anzupassen. Zugleich sollen jedoch auch die Marsianer weiterleben können. Das Problem: Die Marsianer brauchen das besondere, nur auf dem roten Planeten vorkommende, Gas Marsion, um zu überleben. Für Menschen ist zu viel davon aber schädlich. Deshalb soll die Konzentration von Marsion (in mg/m^3 an eine für beide Spezies optimale Dosis angeglichen werden. Wichtig bei dieser Anpassung ist nicht, dass sie so schnell wie möglich geschieht, sondern dass sie auf Dauer möglichst gut die optimale Konzentration herstellt.

Für euer Forschungsteam bei SpaceX habt in Gerät entwickelt. Es stößt pro m^3 täglich 5 mg Marsion aus und baut zugleich 40% des vorhandenen Marsions ab, damit die Konzentration nicht zu hoch steigt. Wir wollen das als Folge darstellen.

1) Zu beginn entfernen wir alles Marsion um das Gerät herum. Dann kommen 5 mg hinzu. Wie lautet der Startwert a1?

--->  Startwert a1= 5

2)Ab jetzt werden an jedem Tag 40 % der Konzentration abgebaut und es kommen weitere 5 mg hinzu. Berechne die weiteren Folgenglieder.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
an			9,8

hier ist das dritte Folgenglied bereits gegeben. Nun bin ich am überlegen, ob ich es mit der expliziten Folge : 5 +5 * 0,6^n anwenden könnte, aber der Wert wird hier kleiner, dann habe ich es mit 5+5 *0,4^n versucht,aber dies klappt leider auch nicht. Könnte mir bitte jemand erklären/helfen wie ich auf das zweite Folgenglied komme, wenn a1,der Startwert 5 ist, oder hab ich da eventuell was falsch gemacht?

:)

Answer 1

Du brauchst eine Rekursionsformel, die aus einem Folgenglied a_n den Nachfolger a_n+1 errrechnet: a_n+1=0,6a_n+5. Mit etwas Geschick kann man eine explizite Formel daraus machen: a_n=5·\( \frac{1-0,6^n}{1-0,6} \).    

Comments

ahh vielen dank, ich hätte da noch eine Frage zur 0,6^3 bei der expliziten Folge, und zwar bezieht sich die ^3 auf die m^3 ?

---

Ich hatte mich verschrieben. Die 3 im Exponenten sollte ein n sein, damit eine allgemeinen Formel daraus wird. Dann gilt insbesondere a₃=5·\( \frac{1-0,6^3}{1-0,6} \).

---

Was ist denn hier falsch gelaufen?

Zuerst wird den Marsianern das lebensnotwendige Marsion entzogen und dann wird eine Maschine eingesetzt, die die Menschen auf Dauer vergiftet.

Dann wird auch noch verheimlicht, wie die optimale Konzentration sein sollte, um das Gerät rechtzeitig abzustellen.

---

Schulmathematik besteht heute in Wesentlichen darin, den Aufgabentext von seinen (hier unsinnigen) Distraktoren zu befreien und den Rest in Taschenrechnerbefehle zu verwandeln.

---

Die Frage, ob wir überleben oder sterben, finde ich nicht unrelevant sondern sehr bedeutend. Wenn solche Funktionen betrachtet werden, dann sollte doch zumindest angedeutet werden , dass es zur Lösung des Problems wesentlich besser geeignete Funktionen gibt.

Das eintippen in den Taschenrechner ist doch das kleinste Problem.

Dass ein Grenzwert angestrebt werden sollte, ist für mich eine zentrale Forderung und dient nicht der Ablenkung. Denn der Aufschrei ist wichtig, um sich mit Funktionen zu beschäftigen, die eine obere und untere Grenze haben.

---

Das Lustige ist aber, dass diese Folge eben nicht ins unendliche steigt, sondern konvergiert. a=12,5