Konvergenz einer Folge, welche Folgenglieder einer anderen konvergenten Folge enthält

Question

Aufgabe:

Sei $$a_n \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$$ eine konvergente Folge, die gegen a konvergiert.

Zeigen Sie, dass $$b_n := \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k$$ für $$n \in \mathbb{N}$$ ebenfalls gegen a konvergiert.

Problem/Ansatz:

Ich bin bei dieser Aufgabe ziemlich ratlos... ich hab versucht, mir das mit einer expliziten Folge als Beispiel vorzustellen und es ergibt ja auch intuitiv Sinn, dass die Aussage stimmen muss, da die Summe ja auch immer beschränkt sein wird und dann durch das Teilen durch n, der Wert ja sogar noch verringert wird. Ich komme aber nicht darauf, wie ich zeigen könnte, dass es allgemein stimmt.

Könnte man das aufteilen und darüber argumentieren, dass 1/n ja auch konvergent ist und das Produkt zweier konvergierender Folgen wieder konvergiert...?

Answer 1

Eine Standardmethode ist Epsilontik:

Für \( \epsilon> 0\) gilt für \(n>N_{\epsilon}\): \(|a_n-a| < \epsilon\).

Nun betrachte für \(n>N_{\epsilon}\)

\(\left|\frac 1n \sum_{k=1}^n a_k - a\right| = \left|\frac 1n \sum_{k=1}^n (a_k - a)\right|\)

\(\leq \frac 1n \sum_{k=1}^{\color{blue}{N_{\epsilon}}}|a_k-a| +\frac 1n \sum_{ k=\color{blue}{N_{\epsilon} +1 }}^{ n } |a_k-a|\)

\(< \frac 1n C_{\epsilon} + \epsilon \)

Da \(C_{\epsilon}\) eine Konstante ist, gibt es ein \(M_{\epsilon} \geq N_{\epsilon}\), so dass für \(n> M_{\epsilon}\) gilt \(\frac 1n C_{\epsilon}<\epsilon\). Also

\(\left|\frac 1n \sum_{k=1}^n a_k - a\right| < 2\epsilon\) für \(n>M_{\epsilon}\)

Answer 2

dass die Aussage stimmen muss, da die Summe ja auch immer beschränkt sein wird

Wie kommst du darauf? Würd ich erstmal nicht zustimmen.

Aber kann es sein das an eine monoton wachsende folge ist (ist das vielleicht in der Aufgabenstellung gegeben?) ?