Eigenschaften einer konvergenten Folge

Question

Aufgabe:

0 < k < a_n  < K für alle natürliche Zahlen s,S sind reelle Zahlen größer 0 

_{\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt[n]{an} \) = 1}

_{Ist dann k = 0?}

Problem/Ansatz:

Folge als konstant betrachten

Comments

Wenn Du voraussetzt, dass 0<k ist, wie kannst Du dann fragen  ob k=0 ist?

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Ist dies dann möglich, dass k=0?

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Bzw. ist diese Aussage auch noch richtig wenn k=0 ist?

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offensichtlich nicht: \(a_n=(1/n)^n\)

Answer 1

Ich nehme mal an, die k und K und die s und S sind die gleichen.

Also gilt a_n liegt für alle n zwischen den beiden  positiven Werten

s und S. Dann gilt für alle n     \( \sqrt[n]{s} \le \sqrt[n]{a_n} \le \sqrt[n]{S} \)

Die Folgen rechts und links haben den Grenzwert 1, also die mittlere auch.

Comments

D.h. s= 0 ist nicht möglich?

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...s,S sind reelle Zahlen größer 0.

Also ist das nicht Thema.

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Die Frage lautet weiter noch, ob die Aussage immer noch richtig ist, wenn s=0?

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Da wäre 1/2^n ein Gegenbeispiel.

Es ist zwar immer 0<1/2^n < 2

aber \( \lim\limits_{n\to\infty}  \sqrt[n]{a_n} =  \lim\limits_{n\to\infty}  {1/2} \) = 1/2

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Ist somit gezeigt, dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt[n]{an} \) = 1 gilt?

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Lies dazu die Ausführungen von mathef