Bezüglich welcher Basen von \mathbb{R}^{2} und \mathbb{R}^{3} können Sie die Koordinatenmatrix direkt ablesen?

Question

. Es sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die lineare Abbildung gegeben durch die lineare Fortsetzung von

$$ f\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right) \quad \text { and } \quad f\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) $$
Bezüglich welcher Basen von \( \mathbb{R}^{2} \) und \( \mathbb{R}^{3} \) können Sie die Koordinatenmatrix direkt ablesen? Geben Sie eine solche Basis und die zugehörige Koordinatenmatrix an.
Geben Sie zudem die Koordinấtenmatrix \( \mathcal{M}_{C_{3}}^{C_{2}}(f) \) bezüglich der Standardbasen \( C_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) \) von \( \mathbb{R}^{2} \) und \( C_{3}=\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right) \operatorname{von} \mathbb{R}^{3} \) an.

Answer 1

a) Direkt ablesbar bzgl. der geordneten Basen des jeweils R² bzw. R³

$$B=\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right), \ C=\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right), \ M_C^B(f)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\text{.}$$

b) Bezüglich der geordneten Standardbasen des R² bzw. R³ gilt

$$f\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = f\left(2\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) = 2\cdot f\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) - f\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - 5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ f\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = f\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = f\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right) - f\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = -1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \text{Damit ist ablesbar } M_{C_3}^{C_2}(f)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \\ -5 & 3\end{pmatrix} \text{.}$$

Comments

darf ich einmal fragen . wo bekommt C (0 0 1)

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Jeder zu (1,0,-2)^T und (0,1,1)^T linear unabhängige Vektor hätte funktioniert und würde das gleiche Ergebnis liefern.

(0,0,1)^T ist als Standardbasisvektor des R³  eben für mich intuitiv gewesen.