Berechnen Sie die Determinante von \varphi_{\alpha}

Question

Aufgabe:

Zu \( \alpha \in \mathbb{R} \) betrachten wir die lineare Abbildung \( \varphi_{\alpha} \) :
\( \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit
$$ \varphi_{\alpha}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=\left(\begin{array}{c} \alpha x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ x_{1}+\alpha x_{2}+x_{3} \\ x_{1}+x_{2}+\alpha x_{3} \end{array}\right) $$
(a) Berechnen Sie die Determinante von \( \varphi_{\alpha} \)
(b) Bestimmen Sie für jedes \( \alpha \in \mathbb{R} \) die Dimension des Kerns und des Bildes von
\( \varphi_{\alpha} \)
(c) Für welche \( \alpha \in \mathbb{R} \) hat das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{array}{l} \alpha x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+\alpha x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+\alpha x_{3}=1 \end{array} $$
genau eine Lösung, mehrere Lösungen bzw. gar keine Lösung?

Answer 1

Schreib doch mal das Gleichungssystem in Matrix-Vektor-Form hin. Dann siehst Du die Lösung sofort.

Comments

Können Sie das klarer erklären?

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$$ \varphi_{\alpha}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=\left(\begin{array}{c} \alpha x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ x_{1}+\alpha x_{2}+x_{3} \\ x_{1}+x_{2}+\alpha x_{3} \end{array}\right) = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$$