Zeigen Sie, dass die Abbildung

Question

Aufgabe:

. \) Für \( \sigma \in S_{n} \) ist \( P_{\sigma} \in \operatorname{GL}_{n}(K) \) die Permutationsmatrix bestehend aus den Spaltenvektoren
$$ P_{\sigma}=\left(e_{\sigma(1)}\left|e_{\sigma(2)}\right| \ldots \mid e_{\sigma(n)}\right) $$
Zeigen Sie, dass die Abbildung
$$ \Phi:\left(S_{n}, \circ\right) \rightarrow\left(\mathrm{GL}_{n}(K), \cdot\right), \quad \sigma \mapsto P_{\sigma} $$
ein Gruppenhomomorphismus ist.

Answer 1

hier musst du nur die Gruppenhomomorphismus Eigenschaften nachweisen (f =φ).

1) Zeige S_n und die Permutationsmatrizen bilden mit ihrer jeweiligen Verknüpfung eine Gruppe.

2) Zeige die Strukturerhaltende Eigenschaft: f(S₁ο S₂) = f(S₁) * f(S₂).

Also die 1) würde ich dir mal überlassen, ist eine schöne Übung um mal Algebraische Strukturen zu Wiederholen. :D

(Aber falls da was unklar sein sollte kannst du ja nochmal kommentieren dann helfe ich dir weiter)

2) Sei S1 und S2 zwei beliebige Permutationen (kann man sich gut als Bijektive Funktion vorstellen). Verknüpft ergibt sich eine weitere Bijektive Verknüpfung d.h. eine weitere Permutation. Diese sieht wie folgt aus k ∈ {1,...,n} nimmt den Wert S1(S2(k)) an.

Also schaut φ(S1οS2) wie folgt aus:

P_S1οS2=(e_(S1οS2)(1)∣∣e_(S1οS2)(2)∣∣…∣e_(S1οS2)(n))

Was man jetzt noch zeigen muss ist das P_S1 * P_S2  = P_S1οS2 bzw. P_S1 * e_S2(k) = e_S1οS2(k)  Das ist eine Variante der Matrixmultiplikation. Matrix mal ersten Spaltenvektor ergibt den ersten Spaltenvektor des Matrixprodukts.

Wendet man aber P_S1  auf einen Spaltenvektor an, so vertauscht die Permutationsmatrix nur die jeweiligen Zeilen (hier: da wir eh nur einen Spaltenvektor betrachten, werden nur die Einträge von e_S2(k) vertauscht und zwar werden hier die Einträge mithilfe der S1 Permutation vertauscht).

Da wir aber nur einen Einheitsvektor betrachten und dieser nur eine 1 an der Stelle S2(k) besitzt wird dieser jetzt so vertauscht, dass der "Einseintrag" an der Stelle S1οS2(k) steht. Damit wäre man schon fertig.

Das war jetzt eine kleine Index Schlacht, ich hoffe aber, dass ich dir trotzdem weiterhelfen konnte.

Falls du noch Fragen haben solltest kannst du ja gerne nochmal kommentieren. :)

MfG Simon