Basen bezüglich der Koordinatenmatrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die mittels der Matrix

\( T=\left(\begin{array}{rrrr} 3 & 4 & -1 & -7 \\ 0 & 5 & 2 & -4 \\ -6 & -3 & 4 & 10 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{3,4}(\mathbb{Q}) \)

definierte lineare Abbildung \( \vartheta: \mathbb{Q}^{3} \rightarrow \mathbb{Q}^{4}, x \mapsto x T \).

(a) Bestimmen Sie Basen für den Kern und das Bild von \( \vartheta \).

(b) Bestimmen Sie Basen \( \mathcal{B}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) von \( \mathbb{Q}^{3} \) und \( \mathcal{C}=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}\right) \) von \( \mathbb{Q}^{4} \), so dass die Koordinatenmatrix von \( \vartheta \) bzgl. \( \mathcal{B} \) und \( \mathcal{C} \) die folgende Form hat:
\( [\vartheta]_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) . \)

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand bitte erklären, wie ich bei der (b) vorgehen muss? Danke für jede Hilfe!

Answer 1

Wegen der etwas ungewöhnlichen Schreibweise, die ich nicht beachtet

hatte, waren meine Lösungsvorschläge falsch. Korrektur in meinem

letzten Kommentar.

Comments

Was ist v und w? Bzw. Wie bestimme ich die?

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s.o.  falscher Vorschlag.

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Willkürliche Elemente?

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w3, w4 s.o. Und dann zu einer Basis von Q^4 ergänzen.

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Ah ok, danke Und das wäre dann w1 und w2?

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Und was ist mit v3?

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W1 und w2 so wählen, dass die w's eine Basis von Q^4 bilden.

Geht z.B. mit den ersten beiden kanonischen Basisvektoren von Q^4.

Und für v1= W*w1 und v2=T*w2 und für v3 z.B. den

ersten kanonischen Basisvektor von Q^3.

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Mir ist nicht klar, ob klar ist, dass die Abbildung als xT und nicht als Tx definiert ist.

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Was meinst du?

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Mathef hat 4dim Vekoren als Elemente des Kerns angegeben. Der Kern ist aber Teilmenge des Definitionsbereichs, müsste also 3dim sein.

Vielleicht kannst Du mal erklären ob bei Euch Vektore standardmäßig Zeilen oder Spaltenvektoren sind oder je nach Kontext.

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Oha, danke für den Hinweis.

Ich hatte nur auf die Matrix geachtet und nicht x*T sondern T*x

verwendet, wie es bei Spaltenvektoren üblich ist.

Aber hier sollen es wohl Zeilen sein.

Dann besteht eine Basis des Kerns z.B. aus dem

Zeilenvektor ( 2,-1,1).

Also wäre v3=  ( 2,-1,1) und z.B. v1 = ( 1,0,0) und v2 = ( 0,1,0).

Dann stehen ja in den Zeilen der gegebenen Matrix die Koeffizienten

zur Darstellung der Bilder der Basisvektoren von  \( \mathcal{B} \)

durch die von \( \mathcal{C} \).

Wegen ( 1,0,0)*M=(3,4,-1,-7) = 1*w1 und

( 0,1,0)*M=(0,5,2,-4) = 1*w2   hast du damit w1 und w2.

Die musst du noch zu einer Basis von Q^4 ergänzen.

Das könnte mit (0,0,1,0) und (0,0,0,1) geschehen.

Damit wäre das Ergebnis komplett.

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Hey, danke für deine ausführliche Hilfe, aber sicher, dass es sich hier um Zeilen geht? Für die Basis des Kerns habe ich einen spaltenveltor, habe ich es dann falsch?

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Was ist der Unterschied zwischen x*T und T*x?

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Was hast du denn raus bei dem Kern ?

T*x geht ja nur, wenn das x eine Spalte aus Q^4 ist,

weil T eine Zeilenlänge von 4 hat und du musst ja

rechnen : Zeile mal Spalte.

Da aber die Abbildung von Q^3 nach Q^4 geht (Das hatte

ich auch erst übersehen.) musst man eben x*T rechnen

und dabei hat das x 3 Komponenten (Dann klappt es

mit x*T , jeweils Zeile mal Spalte.) und die Spalten von T

auch. Das Ergebnis ist dann ein Zeilenvektor mit 4

Komponenten, also z.B.:

( 2,-1,1) * T = (0,0,0,0)  

Also ( 2,-1,1) aus dem Kern.

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Hab als Basis des Kerns:

13/15X3 + 19/15X4

-2/5X3 + 4/5X4

X3

X4

Ist es falsch?

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Wenn ich die Matrix vertausche komme ich auf das, was du raus hast

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Warum fragst Du, ob die falsche Lösung, die mathef korrigiert hat, richtig ist??

Wenn Du nach dem Umterschied zwischen xT und Tx fragst, musst Du Dich mal mit dem Thema Matrizenmultiplikation beschäftigen.

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T ist doch eine 3 x 4 Matrix, weshalb hat es den eine zeilenlänge von 4? Komme bei der abbildungsvorschrift nicht so ganz mit. Den Rest habe ich Soweit verstanden

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Die erste Zeile von T ist doch:

3  4  -1   -7

Das sind 4 Stück !

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Wie kamst du auf den Kern (2,-1,1)? also wenn man T transponiert kommt man anschließend auf diesen Kern, aber weshalb macht man das? Bzw. Woher weiß man, dass man was zuerst transponieren soll.

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Schau Dir doch einfach mal die Gleichungssysteme für den Kern der Abbildung an

\(\left(\begin{array}{rrr}x1&x2&x3\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrrr}3&4&-1&-7\\0&5&2&-4\\-6&-3&4&10\\\end{array}\right)=0\)

===>

{3x1 - 6x3=0, 4x1 + 5x2 - 3x3=0, -x1 + 2x2 + 4x3=0, -7 x1 - 4x2 + 10x3=0}

===>

als Matrixgleichung

\( \left(\begin{array}{rrr}3&0&-6\\4&5&-3\\-1&2&4\\-7&-4&10\\\end{array}\right)  \, \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right)=0\)

oder

(x T)^T = T^T x^T

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Für den Kern machst du den Ansatz

(x,y,z)*T=(0,0,0,0)

Damit du es in der üblichen Spaltenform hast,

musst du beide Seiten transponieren:

((x,y,z)*T) ^t=(0,0,0,0) ^t

<=> T^t (x,y,z)^t = (0,0,0,0) ^t

\(   T^t \left(\begin{array}{cccc} x \\ y  \\ z  \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 0 \\ 0  \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)

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Verstehe, danke für die Hilfe!