Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von A .

Question

任务：Definieren Sie zunächst den Begriff Eigenwert und Eigenvektor. Sei nun

$$ A_{\square}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} $$
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von \( A . \) Ist \( A \) diagonalisierbar?
问题/方法：

...

Answer 1

Hallo

Definieren kannst du das doch hoffentlich, x ist Eigenvektor zum Eigenwert r wenn A*x=r*x

um r zu bestimmen bilde die Determinante von |A-r*I|=0

was soll das chinesisch vor dem Text? Dass es eine Aufgabe ist sehen wir auch ohne.

Gruß lul

Comments

Wie um zu beweisen, ob A diagonalisierbar ist？

Answer 2

Grundlagen und App

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

\(\small |A{-\lambda}E| \, :=  \,\left| \left(\begin{array}{rrr}-\lambda+ 1&2&3\\2&-\lambda+ 2&2\\3&2&-\lambda+ 1\\\end{array}\right)\right|=0\ ⇒ -\lambda\; \left(\lambda+ 2 \right) \; \left(\lambda- 6 \right) = 0\)

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-2&\left(\begin{array}{rrr}3&2&3\\2&4&2\\3&2&3\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&0&\left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\2&2&2\\3&2&1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&6&\left(\begin{array}{rrr}-5&2&3\\2&-4&2\\3&2&-5\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===>

\(\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}-x3&x3&x3\\0&-2 \; x3&x3\\x3&x3&x3\\\end{array}\right)\)

===>

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&1&1\\0&-2&1\\1&1&1\\\end{array}\right)\)

===>

\(\small D \, :=  \, T^{-1} \; A \; T =   \, \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&0&0\\0&0&6\\\end{array}\right)\)