Wie berechne und forme ich diese Summe?

Question

\( \begin{aligned} m_{1} &=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n^{2} p^{2} q^{n-1}=p^{2} \sum \limits_{n=1}^{\infty} n(n-1) q^{n-1}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} n p^{2} q^{n-1} \\ &=p^{2} q \sum \limits_{n=2}^{\infty} n(n-1) q^{n-2}+1=p^{2} q \frac{d^{2}}{d q^{2}} \sum \limits_{n=0}^{\infty} q^{n}+1 \\ &=p^{2} q \frac{d^{2}}{d q^{2}} \frac{1}{1-q}+1=\frac{2 p^{2} q}{(1-q)^{3}}+1=1+2 \frac{q}{p} \end{aligned} \)

Comments

Welcher Schritt genau ist dir unklar? (Nummer des Gleichheitszeichens)

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1&2 sind mir unklar

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Zu 1) p² wurde ausgeklammert (vor die Summe gezogen) und n²=n(n-1)+n (im zweiten Summanden wurde nicht ausgeklammert, d.h. wieder in die Summe geschrieben).

Zu 2) verstehe ich nicht (kommt mir falsch vor).

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Alles klar, vielen Dank

Answer 1

Hallo

1. benutzt würde  n^2=n^2-n+n=n*(n-1) +n

welchen Teil verstehst du  danach nicht ? die 2 te Summe ist auch die  erste Ableitung der geometrischen Reihe von q

und falls 1-q=p stimmt die 1, die erste Summe : leite ∑q^n 2 mal ab, dann siehst du es. und die summe der geometrischen Reihe kennst du hoffentlich.

Gruß lul

Comments

Der erste Teil wurde mir klar, danke :)

Noch eine Frage zum Rest:

Warum wird dort überhaupt abgeleitet?

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Hallo

man kennt die Formel für die geometrische Reihe, aber meist nicht die für n*(n-1)*q^n-2 deshalb muss man die herleiten aus der Ableitung der geometrischen Reihe.

Gruß lul