Tripel Gleichung unendlich viele Lösungen

Question

Wir betrachten in dieser Aufgabe Tripel (a, b, c) von positiven ganzen Zahlen und untersuchen,
welche von ihnen Lösungen der Gleichung
a² + 3 · a · b = c²
sind. So ist das Tripel (2, 16, 10) eine Lösung von (1), weil 2² + 3 · 2 · 16 = 10² wahr ist.

1. Zeigen Sie, dass die Gleichung (1) unendlich viele Lösungen hat.
2. Wie viele Lösungen gibt es, wenn zusätzlich c = 2 · a + 3 gilt?

Problem/Ansatz: Ein Triple wäre 3,8,9, oder 4,7,10, aber auf unendlich?, Sehe ich keine logische Abfolge

Comments

Mit (a,b,c) ist auch (2a,2b,2c) eine Lösung.

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\(b=a\) und \(c=2a\) ist auch immer eine Lösung für alle \(a \in \mathbb N\).

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... auch wenn man die Bedingungen verschärft und fordert, dass \(a\), \(b\) und \(c\) paarweise verschieden und \(\text{ggt}(a,b,c) = 1\) ist, bekommt man allein mit \(a=1\) unendlich viele Lösungen:$$\begin{aligned} a &= 1 \\ c &= k \in \{k \in \mathbb N | \, 3 \nmid k \land k \gt 3 \} \\ b &= \frac 13(c^2 - 1)  \end{aligned}$$Die ersten sechs Lösungen sind dann$$\begin{array}{ccc}a& b& c\\ \hline 1& 5& 4\\ 1& 8& 5\\ 1& 16& 7\\ 1& 21& 8\\ 1& 33& 10\\ 1& 40& 11\end{array}$$

Answer 1

1. Zeigen Sie, dass die Gleichung (1) unendlich viele Lösungen hat.

Wurde schon erklärt wenn das Tupel [a, b, c] eine Lösung ist dann ist es auch das Tupel [ka, kb, kc] ; k ∈ N⁺

(k·a)^2 + 3·(k·a)·(k·b) = (k·c)^2
k^2·a^2 + k^2·3·a·b = k^2·c^2
k^2·(a^2 + 3·a·b) = k^2·c^2
a^2 + 3·a·b = c^2

2. Wie viele Lösungen gibt es, wenn zusätzlich c = 2 · a + 3 gilt?

a^2 + 3·a·b = c^2
a^2 + 3·a·b = (2a + 3)^2
a^2 + 3·a·b = 4·a^2 + 12·a + 9
-3·a^2 - 12·a + 3·a·b = 9
3·a^2 + 12·a - 3·a·b = -9
a^2 + 4·a - a·b = -3
a·(a + 4 - b) = -3

Hier kommen die Faktorzerlegungen 1·(-3) oder 3·(-1) in Frage also gibt es die beiden Lösungen

a = 1 ; b = 8 ; c = 5
a = 3 ; b = 8 ; c = 9