Berechne A2 und gebe An an

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Matrix A= \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \)

Berechne A³ und gebe Aⁿ an.

Comments

Ansatz, Idee?

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Also ich denke das ich für A3 die matrize einfach noch 2 mal aufschreiben muss und das dann mal nehmen muss.

Aber mir wird nicht ganz schlüssig was Aⁿ ist oder bedeuten soll.

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n-te Potenz von A. Man erkennt, dass es sich um {{1,2n},{0,1}} handelt. Einfach ein paar Potenzen bilden.

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Achso ok, danke.

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Man erkennt, dass es sich um {{1,2n},{0,1}} handelt. Einfach ein paar Potenzen bilden.

Zwei gegensätzliche Aussagen.

Einfach ein paar Potenzen bilden.

ist eine schöne Handlungsempfehlung.

Man erkennt, dass es sich um {{1,2n},{0,1}} handelt.

ist das Gegenteil einer Handlungsempfehlung. Damit sagst du: "Tu nichts mehr selbst, hier hast du die Lösung".

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Manchmal motiviert es, ein Ziel vor Augen.

Answer 1

A² bedeutet A*A.

Berechne also A*A.

Und da hier nicht das Schlaraffenland ist, fallen die gebratenen Lösungen für A^n nicht vom Himmel.

Berechne also

A*A*A,

A*A*A*A

und (falls du das Prinzip bis jetzt noch nicht erkannt hast) auch A*A*A*A*A und A*A*A*A*A*A.

Möglicherweise kommt dir dann die Erleuchtung für A^n.

Answer 2

Hallo, prüfe ob A diagonalisierbar ist. Falls nicht, dann bestimme die Jordannormalform von A, sodass du \(A=S\cdot J\cdot S^{-1}\) erhältst. Damit erhältst du weiter \(A^n=S\cdot J^n\cdot S^{-1}\).

Comments

Meinst du nicht, dass das bei einer 2x2- oberen Dreiecksmatrix etwas overkill wäre?

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Jordannormalform ist zwar nicht immer schön zu berechnen, aber meinerseits dafür viel angenehmer, größer Matrixpotenzen zu berechnen, da man nur Einsen auf der Nebendiagonale hat und die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen. Sonst hätte man unter Umständen bei einer Triagonalisierung durchaus Einträge, die von 1 verschieden sein können, was das Bestimmen von größen Potenzen erschwert.

EDIT: Es obliegt nun dem Fragesteller, was dieser schon weiß, bzw., was er/sie am angenehmsten hält.