Zeigen Sie, dass die Funktion differenzierbar ist

Question

Aufgabe: $$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x)}{x}  &\text{für} \quad x \ne 0 \\ 1 &\text{für} \quad x = 0\end{cases}$$

Zeigen Sie, dass die Funktion differenzierbar ist

Problem/Ansatz:

Ich bin zu dumm für den Differenzenqoutienten. Der Ansatz ist ja :$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{\ln(1+x)}{x}-f(0)}{x - 0}  =  \lim\limits_{x\to 0}  \frac{\ln(1+x)}{x^{2}} - \frac{1}{x} $$

Aber hier komme ich nicht weiter ? Stimmt mein Ansatz überhaupt oder habe ich mich verrechnet ? Eigentlich sollte sich ja jetzt etwas vereinfachen bzw. kürzen, aber ich sehs nicht

Answer 1

Hallo,

über Taylorreihe \(\ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\pm \cdots \), dann folgt:$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}-\frac{1}{2}+\frac{x}{3}-\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{5}-\frac{x^4}{6}+\mathcal{O}(x^5)=-\frac{1}{2}$$ Der Grenzwert exisitiert also und \(f\) ist differenzierbar.

Comments

Hallo ,

den Ansatz versteh ich leider nicht. Ist das einzige Möglichkeit das zu zeigen oder gibt es noch eine andere ? Also ich kenn die Taylor reihe und weiß, wie ich damit umzugehen habe, aber gibt es dennoch keine andere Art ?

Mfg

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Regel von L'Hopital ist dir ein Begriff? Ansonsten Einschnürrungskriterium.

Answer 2

Hallo

schreib $$\frac{ln(1+x)-x}{x^2}$$ und verwende die Ruhe für ln(1+x)

denn irgendwie muss ja die Def von ln eingehen.

Gruß lul

Comments

bei dem Schritt war ich auch schon , aber was dann ? Muss ich es mit der e Funktion umschreiben ?