Mathematik - Berechnung des Funktionsterms

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - können Sie mir bitte den vollständigen Rechenweg der Aufgabe angeben. Leider weiß ich nämlich nicht, wie ich vorgehen muss.

Eine Parabel zweiten Grades verläuft durch die Punkte
A(1|3),B(2|6) und C(−1|9).                                                                                                                                                               Berechne den Funktionsterm.

Danke.

Answer 1

y=ax^2+bx+c

A(1|3) → 3=a+b+c

B(2|6) → 6=4a+2b+c

C(-1|9) → 9=a-b+c

Erste minus dritte Gleichung ergibt b und das geht so:

3-9=a-a+b-(-b)+c-c

-6=b+b

-6=2b

b=-3

Jetzt müssen wir noch die zweite Gleichung dazu nehmen.

Es fällt auf, dass c bei allen drei Gleichungen addiert wird. Wenn wir jetzt zwei Gleichungen subtrahieren, fällt c weg.

Ich rechne:Zweite minus erste.

3=3a+b

3=3a-3

...

a=2

c kannst du jetzt selbst versuchen.

:-)

c=4

f(x)=2x^2-3x+4

Comments

Ich stehe tatsächlich komplett auf dem Schlauch - ich muss leider sogar zugeben, dass mir deine Information kein Stück weiterbringt. Mittlerweile probiere ich seit knapp einer dreiviertel Stunde die Aufgabe zu lösen.

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Das ist ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten.

Kennst du Lösungsverfahren für so etwas?

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Mir wäre das Gleichsetzungsverfahren bekannt, jedoch wüsste ich nicht, wie ich dies hier anwenden könnte - ich stehe aktuell leider bei 0.

Meine Rechnung geht nicht auf.

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Kennst du auch das Gauß-Verfahren?

Oder hat dein Taschenrechner ein Menü zum Lösen von Gleichungssystemen?

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Davon wüsste ich grundsätzlich nichts - eigentlich müsste ich es auch nachvollziehen können, aktuell habe ich aber einen Denkfehler.

Ich komme nicht weiter und dachte mir, ich könnte hier jemanden im Forum darum bitten den Rechenweg zu notieren, sodass ich diesen einzeln nachvollziehen kann.

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Also gut, wenn dir aktuell nur das Gleichsetzungsverfahren bekannt ist:

Stelle die erste und die dritte Gleichung jeweils um nach a+c=...,

setze beide Gleichungen gleich und berechne b.

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Das habe ich jetzt probiert, weiß aber nicht, ob das richtig ist - ich bekomme für b=5 heraus?

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Ich ergänze meine Antwort.

:-)

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Das habe ich jetzt probiert, weiß aber nicht, ob das richtig ist - ich bekomme für b=5 heraus?

Nein, das ist nicht richtig.

Die beiden Gleichungen

3=a+b+c    und

9=a-b+c

haben nach der von mir angeratenen Umstellung die Form

a+c=3-b   und

a+c=9+b.

Damit kannst du mit dem Gleichsetzungsverfahren auf

b-3=9+b kommen.

Die Zahl b=5 ist mit Sicherheit keine Lösung, denn 5-3 ergibt nicht das Gleiche wie 9+5.

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3-b statt b-3

:-)

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Danke. Die Bearbeitungszeit war noch nicht abgelaufen, also habe ich es still und heimlich korrigiert....

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Möglicherweise denke ich jetzt zu grob, aber kann ich a und b nicht in die erste Gleichung einsetzen und damit c berechnen?

Dann wäre c=4, oder nicht?

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Genau!

Zur Probe solltest du alle Werte in die anderen beiden Gleichungen einsetzen.

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Möglicherweise denke ich jetzt zu grob, aber kann ich a und b nicht in die erste Gleichung einsetzen und damit c berechnen?

Dann wäre c=4, oder nicht?

Da du bisher b falsch und a noch gar nicht berechnet hast: Wie willst du a und b einsetzen?

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Ich habe die Aufgabe auf Grundlage eurer Nachrichten sowie des Internets nochmal ausprobiert und kam dabei auf die folgenden Werte - außerdem hat MonthyPython seine Antwort ergänzt und dort die Variablen angegeben.

Answer 2

Nutze auch http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

f(1) = 3 --> a + b + c = 3
f(2) = 6 → 4a + 2b + c = 6
f(-1) = 9 → a - b + c = 9

II - I ; III - I

(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 6 - 3
3·a + b = 3

(a - b + c) - (a + b + c) = 9 - 3
- 2·b = 6 --> b = -3

jetzt b einsetzen um a zu erhalten

3·a + (-3) = 3 --> a = 2

nun a und b einsetzen um c zu erhalten

(2) + (-3) + c = 3 --> c = 4