Berührpunkt und Gleichung einer Parabel bestimmen, die den Graphen von f berührt und zur y-Achse symmetrisch ist

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=-2÷x; x∈R {0}.

Eine zur y-Achse symmetrische, nach oben geöffnete Normalparabel soll den Graphen von f berühren. Bestimmen Sie den Berührpunkt B und die Gleichung der Parabel

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand beim Lösen dieser Aufgabe helfen? Ich habe absolut keine Idee, was ich da machen muss...

Answer 1

Hallo,

Eine nach oben offene Normalparabel, die symmetrisch zur Y-Achse liegt, hat die Funktionsgleichung$$p(x) = x^2 + d $$Soll die Parabel \(p(x)\) eine Funktion \(f(x)\) berühren, so müssen beide Funktionen an dieser Stelle die gleiche Steigung haben. D.h. ihre Ableitungen sind hier identisch. Setz man diese gleich ... $$\begin{aligned} p'(x) &= 2x \\ f(x) &= - \frac 2x, \implies f'(x) = \frac 2{x^2} \\ p'(x_b) &= f'(x_b) \\ 2x_b &= \frac 2{x_b^2} \\ x_b^3 &= 1 \\ \implies x_b &= 1\\ \end{aligned} $$... so erhält man die Stelle \(x_b=1\) als Lösung. Die Funktionswerte der beiden Funktionen bei \(x_b=1\) sind$$f(1) = -2, \quad p(1) = 1+ d $$Im Berührpunkt müssen diese ebenfalls identisch sein. Folglich ist$$\begin{aligned} p(1) &= f(1) \\ 1 + d &= -2 \\ \implies d &= -3 \end{aligned}$$Der Plot zeigt, dass das Ergebnis Sinn macht:

~plot~ -2/x;x^2-3;{1|-2} ~plot~

Answer 2

$$\text{Es gibt hier einige wichtige Kernpunkte:} \\ \text{Normalparabel: } g(x)=a\cdot x^2 + b \cdot x + c, \ a\in \{-1,1\}, \ b,c\in \mathbb{R} \\ \text{Zur y-Achse symmetrisch (achsensymmetrisch): } g(x)=g(-x) \Rightarrow b=0 \\ \text{Nach oben geöffnet: } a>0 \Rightarrow a=1 \\ \text{Soll den Graphen von f berühren: (in diesem Kontext) } f(x)=g(x) \ \text{ für genau ein } x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$$

Zur Kontrolle:

$$g(x)=x^2-\frac{7}{4} \text{ berührt } f \text{ im Punkt } B(\frac{1}{2}|-\frac{3}{2})$$

Comments

IMHO ist \(f(x)\) nicht \(f(x)=-2-x\), sondern \(f(x)=-2/x\) (s. Frage)

---

Das Zeichen ÷ steht für divide ( Zeichen-
tabelle Sym )
Die Verwendung ist aber eher unüblich
sondern es wird der Schrägstrich /
verwendet.