1. Eine Parabel 2.Ordnung soll symmetrisch sein zur Geraden x= π/4 und den K in x= 3/4 π berühren. Wie lautet die Gleichung der Parabel?
Die Funktion K lautet f(x)= cos (x) + sin (x) + √2
f(3/4 π) = √2 Also Berührpunkt (3/4 π / √2)
"berührt" heißt: Es muss auch f ' (3/4 π) = Steigung der Parabel bei 3/4 π sein.
f ' (3/4 π) = - √2
Parabel wegen Symmetrie g(x)= a*(x-pi/4)^2 + b
g ' (x) = 2a ((x-pi/4)) also g ' ( 3/4 π)= a*pi also a*pi = - √2 also a = - √2 / pi
Außerdem muss beim Berührpunkt gelten g(3/4 π ) = √2
Mit g(x) = - √2 / pi *(x-pi/4)^2 + b ist g (3/4 π ) = b - 0,5* √2
also b - 0,5* √2 = √2 b= 3/2 * √2
2. f ist eine periodische Funktion und weil sin und cos beide die Periode 2pi haben, hat f das auch.
also hast du schon mal den Ansatz
h(x) = a cos (x-c))+d
Für die Amplitude wären Extrempunkte günstig f ' (x) = 0 gilt z.B. bei x=-3*pi/4
und f(-3*pi/4)=0 Tiefpunkt
und f(pi -3*pi/4)= 2* wurzel(2) Hochpunkt.
Da cos bei o einen Hochpunkt hat, hast du damit schon mal c=pi/4.
Damit die Teifpunkte den y-Wert 0 haben musst du um 1 nach oben schieben, gibt
h(x) = cos(x-pi/4) + 1
und damit die Hochpunkte den passenden y-Wert 2*wurzel(2) haben noch *wurzel(2), daraus
bekommst du das a.
h(x) =( cos(x-pi/4) + 1)* wurzel(2)
Jetzt noch die Klammer auflesösen, dann kannst du a und d ablesen.
