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Eine Parabel 4. Ordnung ist symmetrisch zur y-Achse und hat im W(1/2) einen Wendepunkt dessen Wendetangente durch den Ursprung verläuft .

Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion

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Rückfragen zur Anregung des Nachdenkens:

Wie lautet die allgemeine Form einer Parabelfunktion 4. Grades ?

Welche Teile finden bei y-Achsensymmetrie besondere Beachtung ?

Von der Wendetangente sind zwei Punkte gegeben - wie brechnet man eine Gerade aus 2 Punkten ?

Welche Bedingung muss erfüllt sein, um einen Wendepunkt bzw. eine Wendestelle zu bestimmen ?

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Eine Parabel 4. Ordnung ist symmetrisch zur y-Achse und hat in \(W_1(\red{1}|2)\) einen Wendepunkt dessen Wendetangente durch den Ursprung verläuft .

Durch die Symmetrie ist auch \(W_2(-1|2)\) ein Wendepunkt.

Ich verschiebe nun die Wendepunkte um \(\blue{2}\) Einheiten nach unten:

\(W_1(1|2)\)→  \(W´_1(1|0)\) und  \(W_2(-1|2)\)→\(W´_2(-1|0)\) Es sind nun 2 einfache Nullstellen vorhanden. Weiter mit der Linearfaktorenform der Parabel 4. Ordnung.

\(f(x)=a[(x-1)(x+1)(x-N)(x+N)]\\=a[(x^2-1)(x^2-N^2)]\\=a[x^4-N^2x^2-x^2+N^2]\)

An der Stelle \(x=\red{1}\) ist ein Wendepunkt → 2.Ableitung

\(f'(x)=a[4x^3-2N^2x-2x]\)

\(f''(x)=a[12x^2-2N^2-2]\)

\(f''(1)=a[12-2N^2-2]=a[10-2N^2]=0\)

\(N^2=5\)

\(f(x)=a[x^4-6x^2+5]\)

Berechnung der Steigung der Wendetangente. Sie geht durch den Ursprung und durch  \(W_1(1|2)\)

\(m=\green{2}\)  1. Ableitung ist nun wichtig.

\(f'(x)=a[4x^3-10x-2x]=a[4x^3-12x]\)  

\(f'( \red{1})=a[4-12]=-8a\)

\(-8a=\green{2}\)

\(a=-0,25\)

\(f(x)=-0,25(x^4-6x^2+5)\)

Nun wird der Graph von \(f\) um \(\blue{2}\) Einheiten nach oben verschoben und erhält \(p\) als Namen.

\(p(x)=-0,25(x^4-6x^2+5)+2\)

Unbenannt.JPG

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